Intersezione arbitraria DIM

[krakken]

Ciao,

vorrei dimostrare una cosa estemporanea detta dal prof a lezione: $A_n=(-1/n,1/n)$ come intersezione arbitraria è un punto.

Sono partito dalla mia (auspicabilmente non fallace) intuizione che possa essere {0}.

Ho quindi pensato di scrivere in modo più formale $(-1/n,1/n):={r|-1/n<r<1/n}$

A questo punto mi sembrava utile procedere per doppia inclusione.

1) che {0} sia sottoinsieme di quell'insieme è vero perché se riscrivo: $-1/n<r<1/n <=> (-1/n<r and r<1/n)$ mi accorgo che deve valere: $-1/n<0$ e $0<1/n$ quindi $-1<0*n$ e $n*0<1$ questo per ogni n.
Quindi ho che {0} è sottoinsieme di $(-1/n,1/n)$ per ogni n, quindi è vero anche per ogni intersezione arbitraria degli $A_n$. Questa è l'idea e vorrei come prima cosa chiedervi se mi potete aiutare a formalizzarla meglio.

2) la seconda domanda è su come procedere però nella seconda inclusione: l'intersezione degli An: ${r|-1/n<r<1/n}$ è sottoinsieme di ${0}$. Solo questo mi porterebbe all'uguaglianza dei due, ma sono bloccato su come fare
GRazie

[Mephlip]

La prima è giusta come la hai scritta, a parte quando dici "intersezione arbitraria": non è arbitraria, è numerabile. È una distinzione importante.

Se proprio vuoi formalizzare: essendo \(-1/n<0<1/n\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\), è \(0 \in (-1/n,1/n)\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) e quindi, per definizione di intersezione, è \(0\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}} (-1/n,1/n) \) da cui segue \(\{0\} \subseteq \bigcap_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}} (-1/n,1/n)\). Ma è praticamente quello che hai già scritto tu.

Viceversa, se \(x \notin \{0\}\), è \(x>0\) oppure \(x<0\); supponiamo \(x>0\). Dunque, esiste \(n_x \in \mathbb{N}\setminus\{0\}\) tale che \(x>1/n_x\) (domanda per te: perché esiste?) e quindi \(x \notin \bigcap_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}} (-1/n,1/n)\). Il caso \(x<0\) è estremamente simile. Quindi, \(\{0\}^\text{c}\subseteq \left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}} (-1/n,1/n)\right)^\text{c}\) e ciò implica \(\bigcap_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}} (-1/n,1/n) \subseteq \{0\}\).

[krakken]

Non ci avrei mai pensato.

domanda per te: perché esiste?

Così su due piedi mi ricorda tanto la proprietà archimedea dei reali: fisso x>0 e 1 reali e trovo l'n relativo che rende vera la disuguaglianza.
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Se non ti scoccia vorrei chiederti un approfondimento qui:

e quindi \(x \notin \bigcap_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}} (-1/n,1/n)\)

In sostanza io so che $x>1/n_x$ quindi vuol dire che x non appartiene al certo intervallo $(-1/n_x,1/n_x)$ "eccedendo oltre di esso" per quel dato $n_x in NN$; ora d'altro canto io so che l'intersezione richiede che $x in$[intersezione] se e solo se $x in(-1/n_0,1/n_0) and x in(-1/n_1,1/n_1) and ... and x in(-1/n_x,1/n_x) and ...$ quel che succede è in pratica che viene meno l'appartenenza di $x in(-1/n_x,1/n_x)$ che essendo falsa rende falsa tutta la catena di "and" tipica dell'intersezione e quindi rende falsa l'appartenenza all'intersezione per definizione.

Non so come spiegarlo meglio, ma volevo capire se è questo il motivo diciamo
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PS: dimenticavo, come mai è sbagliato dire "intersezioni arbitrarie"? per arbitrarie quindi si intende intersezioni sul continuo? non ho ben capito, pensavo arbitrarie fosse inteso come "infinite" sui naturali tutti.

Grazie mille.

[Mephlip]

Prego!

Non ci avrei mai pensato.

Non lo devi fare per forza così: puoi anche dimostrare che da \(x \in (-1/n,1/n)\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) segue che \(|x|<\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\). Da quest'ultima, segue \(x=0\). Però, di fatto, è la stessa cosa riscritta in altri termini. Alla fine, la cosa importante è l'idea che c'è dietro: dato che nell'intersezione numerabile puoi "stringere" \((-1/n,1/n)\) quanto vuoi, se un numero reale \(x\) è diverso da \(0\) hai "spazio" tra \(x\) e \(0\) e quindi, prima o poi, a forza di stringere \((-1/n,1/n)\) il numero \(x\) si trova fuori da \((-1/n,1/n)\); la possibilità di stringere quanto vuoi è data dal fatto che stai intersecando su tutti i possibili naturali non nulli. La formalizzazione di questa cosa molto intuitiva è quella suddetta.

Così su due piedi mi ricorda tanto la proprietà archimedea dei reali: fisso x<0 e 1 reali e trovo l'n relativo che rende vera l'uguaglianza.

Sì, esatto.

Se non ti scoccia vorrei chiederti un approfondimento qui...
...Non so come spiegarlo meglio, ma volevo capire se è questo il motivo diciamo

Sì, dal punto di vista logico l'intersezione è collegata con la congiunzione; significa che devi stare nell'insieme indicizzato dal numero naturale per qualunque numero naturale. Basta che ne esista uno in cui non stai e non è più vera la congiunzione logica (e quindi non stai nell'intersezione numerabile).

PS: dimenticavo, come mai è sbagliato dire "intersezioni arbitrarie"? per arbitrarie quindi si intende intersezioni sul continuo? non ho ben capito, pensavo arbitrarie fosse inteso come "infinite" sui naturali tutti.

No, non si intende necessariamente "sul continuo"; tuttavia, pensare alla differenza tra numerabile e non numerabile aiuta a capire perché "numerabile" e "arbitraria" sono due cose diverse. L'insieme di indici su cui intersechi potrebbe essere non numerabile (pensa, ad esempio, a cerchi di centro l'origine e raggio \(r>0\) che intersechi su \(r>0\)) o anche su insiemi completamente orripilanti che sono indicizzati da delle condizioni particolari (tipo quella di essere nell'insieme dei numeri irrazionali nell'intervallo \([0,1]\). Quest'ultimo è ancora non numerabile, ma è più inusuale rispetto a un non numerabile più familiare come un qualsiasi intervallo proprio di \(\mathbb{R}\). Quindi, con arbitraria si intende che l'insieme degli indici è un insieme qualsiasi, per cui non è necessariamente un insieme numerabile o non numerabile. Se studi matematica, solitamente si inizia ad avere a che fare di più con queste cose quando si fa topologia. Se studi altro, non so se vedrai mai queste cose.

[krakken]

Mi sembra tutto chiaro. In effetti io pensavo che "arbitraria" si intendesse intersezione infinita (cioè anche numerabile). Ho capito ora il senso della terminologia

Dicevi:
1) x∈(−1/n,1/n) per ogni n∈N∖{0} segue che |x|<ε
2)|x|<ε per ogni ε>0. Da quest'ultima, segue x=0
Ormai sono in preda a dimostrare tutto, mi rendo conto che sia semplice ma non mi viene in mente: come li mostro questi due passi?

Se studi altro, non so se vedrai mai queste cose.

Sì, in effetti a fisica mi sa che non si vede granché. Però approfondire fa sempre bene (soprattutto se non si è molto svegli di base XD, come si può intuire anche dalla domanda della sezione "analisi di base")

[Mephlip]

Il primo è sempre la proprietà archimedea: sia \(\varepsilon>0\) arbitrario. Per la proprietà archimedea, esiste \(n_{\varepsilon}\in\mathbb{N} \setminus\{0\}\) tale che \(1/n_{\varepsilon}<\varepsilon\). Dunque, dato che nell'intersezione di nostro interesse c'è qualunque naturale non nullo, ti trovi in questa situazione per \(n > n_\varepsilon\). Quindi, è \(-\varepsilon<-1/n_{\varepsilon}<x<1/n_{\varepsilon}<\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\). Per le proprietà del valore assoluto, è \(-\varepsilon<x<\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\) se e solo se \(|x|<\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\).

Dimostriamo ora la seconda. Se per assurdo fosse \(x \ne 0\), allora sarebbe \(|x|>0\). Ma allora, dato che \(|x|<\varepsilon\) è vera per ogni \(\varepsilon>0\), scelto \(\varepsilon=|x|/2\) (scelta legittima perché \(|x|/2>0\)) sarebbe \(|x|<|x|/2\) da cui \(1<1/2\) (anche qui, è legittimo dividere perché \(|x|>0\)). Contraddizione. Quindi, \(x=0\).

[krakken]

Scusa se rispondo solo oggi ma ho avuto una febbre da cavallo e non ho avuto la benché minima potenza intellettuale per mettermi a ragionare davanti a uno schermo.

Direi che è tutto molto chiaro e ci tenevo a dirti GRAZIE MILLE .

Buona Pasqua!

[kaiz]

Viceversa, se \(x \notin \{0\}\), è \(x>0\) oppure \(x<0\); supponiamo \(x>0\). Dunque, esiste \(n_x \in \mathbb{N}\setminus\{0\}\) tale che \(x>1/n_x\) (domanda per te: perché esiste?) e quindi \(x \notin \bigcap_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}} (-1/n,1/n)\). Il caso \(x<0\) è estremamente simile. Quindi, \(\{0\}^\text{c}\subseteq \left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}} (-1/n,1/n)\right)^\text{c}\) e ciò implica \(\bigcap_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}} (-1/n,1/n) \subseteq \{0\}\).

Mi chiedevo una cosa, dato che la proprietà di Archimede vale per reali positivi, se ho il caso x<0 immagino di poter estendere la proprietà anche ai negativi. Come potrei fare a mostrare in modo corretto che se vale archimede (dati a e b in R positivi, esiste n in N tale che an>b) per due reali positivi vale anche per negativi? (immagino prendendo anziché $n in NN$ con $n in ZZ$)

[Mephlip]

@krakken: Prego!

@kaiz: Ti riconduci al caso precedente. Se \(x<0\), allora \(-x>0\) e usi la proprietà archimedea relativamente a \(-x\).

[kaiz]

@kaiz: Ti riconduci al caso precedente. Se \(x<0\), allora \(-x>0\) e usi la proprietà archimedea relativamente a \(-x\).

ho capito. E, mi chiedevo, ma secondo te sarebbe invece stupido "piazzare" il meno dentro a n così da avere un principio simile ma con gli interi relativi?

Intendo che nella archimedea classica ho $n in NN$, con la mia idea avrei solo $n in ZZ$ potendo accettare a e b anche negativi.

In pratica invece di dire -x>0 io accetto x<0 ma uso i relativi e non più i soli naturali, mi sembra funzionare ma non so se sia una buona idea e se non lo fosse perché no?