Costruzione del campo di spezzamento

[francicko]

Appena posso mi procuro il testo che hai citato.
Ricapitolando, Sia $F$ un campo ed $p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, siano $alpha$ e $beta$ due radici distinte, avremo $F_1F[x]//p(x)~~F[alpha]~~F[beta]$ indichiamo con
$F_1=F[alpha]$ ed $F_2=F[beta]$ l'isomorfismo $phi$ che lascia fisso il campo $F$ tale che $phi(alpha)=beta$
può essere esteso ad i campi $(F_1[x])//(p_1^(n-1)(x))$ ed $(F_2[x])//(p^(n-2)(x))$ , supposti nei rispettivi campi i polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ irriducibili, avremo quindi $(F_1[x])//(p_1(x))~~F_2//(p_2(x)$.
Preso ad esempio un polinomio di terzo grado del tipo $p(x)=x^3-k$ con $k$ $in$ $Q$ , ed indicato con $alpha$ e $beta$ due radici distinte, avremo :
$p(x)=(x-alpha)(x^2-alphax+alpha^2)$ ed
$p(x)= (x-beta)(x^2-betax+beta^2)$
avendo che $phi(alpha)=beta$ possiamo scrivere
$p(x)=(x-beta)(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$ da qui si ha
$(F[alpha](x))//(x^2-alphax+alpha^2)~~(F[beta](x))//(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$
Questo risultato è generale , cioè valido scegliendo un qualsiasi polinomio, e ci assicura che il campo di spezzamento a meno di isomorfismi è unico, giusto?

[Martino]

Questo risultato è generale , cioè valido scegliendo un qualsiasi polinomio, e ci assicura che il campo di spezzamento a meno di isomorfismi è unico, giusto?

Assolutamente no, tu hai fatto una supposizione cruciale, questa:

supposti nei rispettivi campi i polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ irriducibili

Senza questa ipotesi quello che dici qui

$(F[alpha](x))//(x^2-alphax+alpha^2)~~(F[beta](x))//(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$

è falso.

E comunque ti faccio osservare che continui a fare affermazioni senza dimostrare niente. Non è così che funziona la matematica.

[francicko]

D'accordo, però posso dire che se i due polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ se non sono irriducibili hanno un fattore irriducibile? Giusto?

[Martino]

Sì lo puoi dire.

[francicko]

Sia $F$ un campo ed, $p(x)$ un polinomio ivi riducibile, con $p(x)=s(x)t(x)$ ed $s(x)$ , $t(x)$ irriducibili in $F$
sia $alpha$ una radice di $s(x)$ ed $beta$ una radice di $t(x)$, posso considerare le estensioni di campo
$F[alpha]~~F//(s(x))=F_1$ ed $F[beta]~~F//((t(x))=F_2$
ed l'estensione di campo
$F_1//((t(x))~~F_1[beta]$ in quanto $t(x)$ irriducibile in $F_1$, risulterà così $F_1[beta]$ essere campo di spezzamento di $p(x)$ come lo sara analogamente $F_2[alpha]$, mi sbaglio?

[Martino]

Ti sbagli.

[francicko]

Hai ragione sto facendo confusione!!
Sia $F$ è un campo , un polinomio$p(x)$ a coefficienti in $F$ si dice irriducibile se non si puo decomporre nel prodotto di due o piu polinomio , non ridotti a delle costanti, aventi anch'essi coefficienti in $F$.
Questa definizione va bene?
Sia $F$ un campo $p(x)$ un polinomi ivi riducibile , sia inoltre $p(x)=p_1(x)p_2(x)....p_i(x)$ con $p_1(x),p_2(x),...,p_i(x)$ irriducibili,
Sia $alpha_1$ una radice del polinomio $p_1(x)$, $F[alpha_1]=F_1$ risulterà ovviamente un campo,
sia $alpha_2$ una radice del polinomio $p_2(x)$
il polinomio $p_2(x)$ risulterà irriducibile anche in $F_1$?

[hydro]

No. Ma poi scusami eh, quando si formula una domanda è buona norma, per sé stessi e per rispetto degli altri, provare a formulare qualche esempio il più semplice possibile. Da come scrivi sembra che tu formuli delle domande a caso e le posti qua, senza pensarci nemmeno un minuto. Ti rendi conto del fatto che così facendo non imparerai mai niente, vero?

[francicko]

Hai ragione! Faccio confusione!

[francicko]

Su Wikipedia leggevo la seguente argomentazione, sia $K$ un campo $p(x)$ un polinomio a coefficienti in tale campo che si fattorizzi in $K[x]$ , con $p(x)=p_1(x)•p_2(x)•......•p_n(x)$ allora l'anello quoziente
$K_2[x]~~K[x]//(p(x))$ è un campo che contiene $K$ ed una radice di $p_1(x)$, fin qui tutto bene. Poi però afferma il procedimento può essere ripetuto ai fattori$p_2(x),p_3(x),....p_n(x)$, e termina dal momento che il grado di $p(x)$ è finito, il campo che si ottiene cosi è esattamente un campo di spezzamento di $p(x)$ su $K$, questo mi sembra palesemente errato, perché preso un $K_(i-1)[x]//(p_i(x))$, il polinomio $p_i(x)$ non è detto che sia irriducibile in $K_(i-1)$, se prendo invece ad esempio il polinomio $p(x)=(x^2-2)(x^2-3)$ a coefficienti in $QQ$, indicati con $p_1(x)=(x^2-2)$ ed $p_2(x)=(x^2-3)$, avremo che $QQ[x]//(p_1(x))~~QQ[sqrt2]=QQ_1$ ed $E=QQ_1//(p_2(x))$ campo di spezzamento, avente base come spazio vettoriale ${a_0+a_1sqrt2+a_2sqrt3+a_3sqrt2sqrt3}$ , proprio perche in questo particolare caso posso facilmente stabilire che $p_2(x)=(x^2-3)$ è irriducibile in $QQ_1$, inoltre si osserva facilmente che se inizio il procedimento dal polinnomio $p_2(x)$ ottengo il campo di spezzamento $E'~~E$ secondo l'isomorfismo $phi$ che porta $phi(sqrt2)=sqrt3$ ed $phi(sqrt3)=sqrt2$, potreste darmi qualche delucidazioni a riguardo?
Scusatemi se faccio confusione!