Domanda di teoria sull'immagine

[megas_archon]

Ancora non riesco a capire perché introduciate questi "per ogni" surrettizi quando parlate dell'immagine di una funzione. Non è scorretto, ma è del tutto fuorviante per la maniera intuitiva di presentare il quantificatore universale \(\forall\). Renderlo preciso si può, ma è molto fuorviante a sua volta, e finisce per essere tautologico...

[kaiz]

Ma se $R(v)$ non è definito per ogni $v in V$ allora non ha senso scrivere ${R(v)\ :\ v in V}$.

Ah,ok. Perché il senso che volevo dare al discorso era questo:

$B={R(v) : v∈V}$ lo leggo sempre e comunque come "gli elementi di $B$ sono gli $R(v)$ tali che esiste un $v in V$"

Solo che c'erano due casistiche nella mia mente:

- Nel caso di funzioni:
$forall x in V$ per definizione posso scrivere l'elemento $f(x)$. Ora mi chiedo se l'elemento $f(x)inB$?
la risposta è sì perché gli elementi di $B$ sono gli $f(v)$ tali che esiste¹ un $v in V$, e quindi è vero che f(x) sta in B perché basta prendere $v=x$ e dato che per ogni x scrivo f(x), allora f(x) è tale che esiste x inV². Quindi in questo caso $B$ è anche l'insieme degli $f(x)$ per ogni $x inV$.


- Nel caso delle relazioni non vale più il "per ogni" v, ma continua a valere l'esiste, poiché:
non è più possibile scrivere per ogni $x$ il mio $R(x)$
quindi l'insieme $B={R(v) : v∈V}$ è sempre l'insieme degli $R(v)$ tali per cui esiste $v in V$ (questo vale anche per le relazioni), tuttavia non avendo più la possibilità di scrivere per ogni $x$ un relativo $R(x)$, non vale più il "per ogni" come sopra: cioè, in modo evidente, B così scritto non è l'insieme degli $R(x)$ per ogni $x∈V$.

Mi sembrava un ragionamento che filava, per quello ero ahimè convinto della correttezza. Cercherò ora di capire dove sta la magagna grazie alle tue dritte.

Invece dire che: se $R(v)$ non è definito per ogni $v in V$ allora non ha senso scrivere $B={R(v)\ :\ v in V}$ mi sembrava pari ad asserire che la notazione di B scritta in quel modo andava sempre letta come "gli B sono gli $R(v)$ per ogni $v in V$". E dato che il per ogni non può qui sussistere con le relazioni non andava più bene questa notazione.

Comunque ora so che questo ragionamento che mi ero fatto è sbagliato.

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Note

1. ossia: songo gli f(v) per qualche $v in V$ ↑
2. che è proprio la richiesta per stare in B ↑

[Martino]

Io la scrittura ${f(v)\ :\ v in V}$ l'ho sempre letta come "l'insieme dei $f(v)$ al variare di $v in V$ in tutti i modi possibili". Quindi se ci sono dei valori che si vogliono escludere questi vanno esclusi per imposizione.

Quindi per esempio scrivere ${sqrt(x)\ :\ x in RR}$ non ha senso, bisogna semmai scrivere ${sqrt(x)\ :\ x in RR,\ x ge 0}$.

Un altro esempio: nessuno scriverebbe ${1/x\ :\ x in RR}$. Semmai bisogna scrivere ${1/x\ :\ x in RR,\ x ne 0}$.

Vedi anche qui.

Tu hai già incontrato dei casi (in libri o articoli) in cui era sottinteso che per esempio quando si scrive ${f(x)\ :\ x in X}$ alcuni valori di $x in X$ vanno esclusi? (Io no)

[megas_archon]

"gli elementi di $B$ sono gli $R(v)$ tali che esiste un $v in V$"

Questo non significa nulla: "gli elementi di $B$ sono gli $R(v)$ per cui esiste un $v in V$"... tale che cosa?

[Martino]

"gli elementi di $B$ sono gli $R(v)$ tali che esiste un $v in V$"

Questo non significa nulla: "gli elementi di $B$ sono gli $R(v)$ per cui esiste un $v in V$"... tale che cosa?

Forse intende
${w\ :\ EE v in V\ :\ w=R(v)}$

[kaiz]

Io la scrittura ${f(v) : v∈V}$ l'ho sempre letta come "l'insieme dei f(v) al variare di v∈V in tutti i modi possibili"

sì, un punto dubbio che mi porta inesorabilmente fuori strada credo di averlo finalmente visto, ed è proprio questo da te indicato. Non mi è cioè chiaro come vada letto a livello di quantificatori il termine "al variare" perché mi sembrava un "per qualche" ossia f(v) per cui esiste v∈V. E interpretandolo come esiste nascevano i dubbi di cui sopra.
Invece mi pare e ti chiedo, va letto come "per ogni"? Perché se così fosse sarebbe evidente dove sbagliavo.

"gli elementi di $B$ sono gli $R(v)$ tali che esiste un $v in V$"

Questo non significa nulla: "gli elementi di $B$ sono gli $R(v)$ per cui esiste un $v in V$"... tale che cosa?

questo è il secondo punti su cui storcevo il naso ma non sapevo bene come rendere l'idea che avevo.

sono gli $R(v)$ tali che esiste un $v in V$ mi sembrava identico a dire: sono gli $R(v)$ tali per cui esiste un $v in V$, o ancora: sono gli $R(v)$ per cui esiste un $v in V$.

E credo di non afferrare come usare il "tale che", mi sembrava tutto sommato corretto ma capisco dalla tua risposta che è errato il mio uso. Ma perché?

Direi che capite queste due cose il resto mi torna tutto, è proprio un problema di interpretazione della scrittura ora.

[Martino]

sono gli $R(v)$ tali che esiste un $v in V$ mi sembrava identico a dire: sono gli $R(v)$ tali per cui esiste un $v in V$, o ancora: sono gli $R(v)$ per cui esiste un $v in V$.

Nessuna di queste formulazioni ha senso, cosa significa "$R(v)$ tale che esiste $v in V$"? Poi se metti "tale che", "tale per cui" o simili non cambia niente.

[kaiz]

Nessuna di queste formulazioni ha senso, cosa significa "R(v) tale che esiste v∈V"? Poi se metti "tale che", "tale per cui" o simili non cambia niente.

Oddio, temo di essermi intortato allora.
[edit]
Scrivendo e controscrivendo questo messaggio penso 100 volte, forse ho capito le vostre correzioni; proviamo se riesco a spiegarmi:

Prendiamo le funzioni e quindi le f(v), mi sembrava sensato poter definire un insieme di questo tipo: "l'insieme degli f(v) tali che esiste v∈V" tuttavia dopo molte rielaborazioni che mi avete stimolato mi sembra in effetti insensata come proposizione, nel senso che dice che quell'insieme è l'insieme degli oggetti f(v) tali che esiste un elemento v in V. Quindi è l'insieme di f(v) tale che l'insieme V non sia vuoto (in un certo senso, dato che richiedo l'esistenza di un v al suo interno), insomma una proposizione insensata.

Il mio errore di fondo era che leggevo la frase: l'insieme delle f(v) tali che "esiste v in V" come: l'insieme delle f(v) "che avevano tale v che stava in V". Ma è errato, non dice questo.
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Mentre per la prima domanda:

Io la scrittura {f(v):v∈V} l'ho sempre letta come "l'insieme dei f(v) al variare di v∈V in tutti i modi possibili"

è corretto almeno qui quello che avevo capito? ossia dire che "al variare" è un "per ogni"? Spero almeno questo sia corretto . Credo mi lasci con l'amaro in bocca non aver capito questo "al variare" come renderlo come quantificatore, perché inizialmente mi sembrava un esiste (cioè un "per qualche"), poi un per ogni. E quindi non ho capito come renderlo in modo corretto e unico. Io credo molti dubbi nascano da qui, non aver capito con quale quantificatore tradurre il linguaggio naturale (certe volte trovo scritto per qualche altre volte al variare), oltre a quanto scritto nel punto precedente di questo messaggio.

[megas_archon]

Ho l'impressione che non ti sia chiaro

- cos'è un insieme
- cos'è una funzione
- come si scrivono semplici formule nel linguaggio della teoria degli insiemi.

(Non che la prima cosa sia chiara a molti...)

Ripartiamo dall'inizio: tu vuoi scrivere in maniera semi-formale cosa sia l'immagine di una funzione; innanzitutto deve esserti chiaro cosa sia la cosa che vuoi descrivere, cioè: spiega in parole semplici cos'è l'immagine di una funzione \(f : X\to Y\).
Scrivilo proprio, fallo in un commento qui sotto.

Dopo, possiamo preoccuparci di scrivere la definizione formalizzata; spero ti accorgerai presto che, e del perché, "l'insieme degli f(v) tali che esiste v∈V" non è la risposta (tra l'altro, nuovamente, non significa nulla, nel senso che non è nemmeno un'espressione ben formata, per il modo in cui i quantificatori sono costruiti.

[Martino]

Premesso che per ogni $x in V$ l'elemento $f(x)$ appartiene a ${f(v) : v in V}$,

Io la scrittura {f(v):v∈V} l'ho sempre letta come "l'insieme dei f(v) al variare di v∈V in tutti i modi possibili"

è corretto almeno qui quello che avevo capito? ossia dire che "al variare" è un "per ogni"?

No, io non leggerei ${f(v) : v in V}$ come "$f(v)$ per ogni $v in V$", invece lo leggo come "$f(v)$ tale che $v in V$", dove però "$v in V$" è una caratterizzazione, definisce gli elementi dell'insieme. Cioè per capirci meglio:

${f(v) : v in V} = {w : EE v in V : w=f(v)}$

La seconda scrittura è più chiara. Quando scriviamo per esempio $A={w : EE v in V : w=f(v)}$ vogliamo dire che gli elementi $w$ di $A$ sono caratterizzati dal predicato che segue, cioè dal fatto che $EE v in V : w=f(v)$. In altre parole

$w in A$ se e solo se esiste $v in V$ tale che $w=f(v)$.

Se la vedi così, il tuo "per ogni" ti viene fuori gratis, perché se prendi un qualsiasi $x in V$ l'elemento $w=f(x)$ appartiene ad $A$ perché esiste certamente un $v in V$ tale che $w=f(v)$, basta scegliere $v=x$. Questo dimostra che $f(x) in A$ per ogni $x in V$. Inoltre ogni elemento di $A$ è del tipo $f(v)$ per qualche $v in V$. (Comunque a me sembra di ripetere sempre le stesse cose, non so quanto sia utile.)