Estensione del concetto di insieme a più di $2$ dimensioni

[marcokrt]

Immagino che questa idea che mi è appena venuta in mente possa essere già stata formalizzata, ma non sapendo dove cercare eventuali fonti, provo a descriverla a grandi linee:
Siamo abituati a rappresentare graficamente un insieme delimitando una porzione di spazio tramite una curva chiusa, attribuendo preventivamente una determinata caratteristica peculiare e comune agli elementi che reputiamo far parte di quella casistica.
Direi dunque che un requisito preliminare (CN) per procedere all'operazione sia essere convinti che la precisione con cui abbiamo definito il perimetro semantico della proprietà prescelta non dia luogo ad ambiguità successive, a quel punto verifichiamo se i singoli oggetti godano di quella proprietà e li inseriamo dentro o fuori la porzione di spazio già delimitata ed etichettata (esempio, nell'insieme dei pennarelli che ho sulla scrivania, non inserirò anche una penna a sfera con inchiostro liquido, essendo per me "penna" una classe distinta dai pennarelli e mi fido dei miei sensi nel saper discernere tra i due tipi di strumenti per scrivere).

Ora, se volessimo creare degli array multidimensionali a cui assegnare più proprietà e requisiti, non potrebbe essere utile estendere a $3$, $4$, e più dimensioni quanto detto? Lavorando con il prodotto cartesiano, potremmo decidere di volta in volta su quale piano lavorare e sezionare il relativo solido al cui interno sono "contenuti" gli elementi che vogliamo catalogare, stratificandoli opportunamente... avremmo dunque facoltà di definire un opportuno spazio metrico e lavorare per affinità, in termini di vicinanza/lontananza semantica lungo un certo asse rispetto alle classi che occupano strati diversi del medesimo "insieme fisico" multidimensionale (per esempio, consideriamo tutti gli oggetti per scrivere che ho in casa... definisco opportunamente il concetto di distanza in base ai miei scopi, così da potrei ritrovare comodo avere le penne a inchiostro liquido più vicine ai pennarelli rispetto alle matite con mina in grafite/argilla che a loro volta sarebbero più vicine ai gessi rispetto ai pennelli con relativa tavolozza di colori per tela).
Che ne pensate?

[marcokrt]

P.S. In quest'impostazione, troverei più sensato ridurre la rappresentazione base dei classici insiemi "minimi" a segmenti (quindi porzioni di retta, unidimensionali), non avendo particolari vantaggi a restare sul piano.
Per capirci, immaginiamo di posizionare orizzontalmente questi segmenti/insiemi basati su un'unica proprietà particolare; per le etichette grafiche, nulla ci impedisce di piazzarle sopra/sotto i relativi punti allineati che indicano i singoli elementi dell'insieme base.
A quel punto si "allenta" la regola semantica di partenza e si stratifica aggiungendo la seconda dimensione, e così via proseguendo nel processo di estensione dell'insieme base...

[megas_archon]

Siamo abituati a rappresentare graficamente un insieme delimitando una porzione di spazio tramite una curva chiusa

Questa è una rappresentazione di un insieme che non ha niente di formale, e che quindi non è molto adatta per ragionare sul concetto astratto. In particolare, gli insiemi sono "amorfi", ossia non hanno altra struttura che non quella determinata dall'essere collezioni di certi elementi, quelli che soddisfano una proprietà. Però è pericoloso essere troppo liberali nel definire quali proprietà: tutte sono troppe, perché generano oggetti paradossali.

Più nello specifico, gli insiemi non sono "array" o "liste" di oggetti, ciascuna di queste due strutture infatti ha un ordine specificato tra i suoi elementi, che rende, ad esempio, la lista \((\text{spinterogeno}, \text{furetto}, \text{Andalusia})\) diversa dalla lista \((\text{Andalusia},\text{furetto}, \text{spinterogeno})\) (laddove invece i due insiemi con gli stessi elementi in ordine diverso solo uguali), e ammettono ripetizioni (i multiinsiemi, cioè le liste simmetriche, sono una struttura di dato ancora diversa dagli insiemi nudi).

Il resto del discorso fa un po' di confusione con il linguaggio, per cui è impossibile stargli dietro: puoi fare un esempio matematico, invece di uno con matite e tavoli?

[marcokrt]

Siamo abituati a rappresentare graficamente un insieme delimitando una porzione di spazio tramite una curva chiusa

Questa è una rappresentazione di un insieme che non ha niente di formale, e che quindi non è molto adatta per ragionare sul concetto astratto. In particolare, gli insiemi sono "amorfi", ossia non hanno altra struttura che non quella determinata dall'essere collezioni di certi elementi, quelli che soddisfano una proprietà. Però è pericoloso essere troppo liberali nel definire quali proprietà: tutte sono troppe, perché generano oggetti paradossali.

Più nello specifico, gli insiemi non sono "array" o "liste" di oggetti, ciascuna di queste due strutture infatti ha un ordine specificato tra i suoi elementi, che rende, ad esempio, la lista \((\text{spinterogeno}, \text{furetto}, \text{Andalusia})\) diversa dalla lista \((\text{Andalusia},\text{furetto}, \text{spinterogeno})\) (laddove invece i due insiemi con gli stessi elementi in ordine diverso solo uguali), e ammettono ripetizioni (i multiinsiemi, cioè le liste simmetriche, sono una struttura di dato ancora diversa dagli insiemi nudi).

Il resto del discorso fa un po' di confusione con il linguaggio, per cui è impossibile stargli dietro: puoi fare un esempio matematico, invece di uno con matite e tavoli?

Sono stato molto generico nel dipanare il filo dei pensieri, assolutamente. Il fatto è che mi ci vorrebbero almeno un paio d'ore per abbozzare una formalizzazione su una delle tante direttrici che questo processo mentale potrebbe produrre e chiedevo più che altro se già fossero disponibili lavori strutturati in tal senso (non penso di essere stato il primo ad aver avuto idee simili).
Così, a spanne e andando parecchio di fretta, credo che la formalizzazione dovrebbe già includere al suo interno la propria metrica e se dunque volessimo costruire il relativo spazio metrico per poterlo associare al quadro astratto appena tratteggiato sopra, immagino che, tra le tre condizioni, quella a cui stare più attenti debba sicuramente essere la preservazione della validità della disuguaglianza triangolare.
Il problema dell'ordine/non ordine non è di poco conto, perché so bene che in un insieme finito descritto elencando gli elementi (come quelli dei miei esempi) l'ordine degli stessi non è rilevante, ma se ci volessimo associare il concetto di distanza la cosa creerebbe non pochi problemi e magari ci ritroveremmo giusto a lavorare con quella tra le rette parallele che includono i segmenti che descrivono tali collezioni di elementi non ordinati. Non sarebbe certo ottimale o super rigoroso, ma potrebbe aprire le porte a ulteriori sviluppi (IMHO).
Il fatto di ripetere, che so, tre volte "matita" all'interno dello stesso insieme di oggetti per scrivere su carta non lo trovo problematico... basta assegnare a ciascun elemento un'etichetta/indice univoco tramite pedice (i.e., matita_1, matita_2, matita_3, magari ordinandole per data di acquisto, lunghezza della mina residua, durezza/colore o un altro criterio a scelta).
Ho proposto un esempio così "elementare", da scuola elementare proprio, perché una volta intuita la linea su cui procedere, troverei molto più semplice trasporre tutto nel mondo delle strutture algebriche, sostituendo a oggetti fisici numeri e quant'altro.
L'obiettivo di partenza sarebbe quello di ottenere degli involucri (dotati di una distanza interna) contenenti molti "oggetti" (in astratto non solo matematici, sacrificando in questa fase la precisione formale della relativa definizione) che permettano di veicolare più informazioni al contempo, accogliendo al loro interno differenti classi di oggetti stratificate, connotate da una certa distanza reciproca (se non si riuscisse poi a ottenerne una assoluta che dunque permetta di posizionare l'involucro stesso in uno spazio metrico... obiettivo che al momento accantonerei).
Facciamo un esempio rapido con i numeri per concludere: magari potremmo pensare di includere in un certo segmento i più piccoli $1000$ numeri naturali, aggiungiamo una dimensione e collochiamo su un segmento parallelo a distanza $1$ unità classante (termine inventato al momento) dal precendente tutti i razionali non interi tra $0$ e $1000$, aggiungiamo un altro asse (per semplicità) ortogonale e su un rettangolo a distanza $2$ unità classanti colloco tutti gli irrazionali tra $0$ e $1000$ (ho scelto qui un rettangolo anziché un segmento perché la cardinalità dei reali è $2$^(cardinalità dei naturali/razionali) e lo visualizzerei meglio così), magari poi posso descrivere meglio gli oggetti presenti nell'insieme dipinto come quel "rettangolo" differenziandoli nelle sottoclassi di irrazionali "algebrici" e "trascendenti", associando a ciascuna partizione la relativa proprietà di essere/non essere soluzioni di alcuna equazione polinomiale a coefficienti interi...

[marcokrt]

Riprendendo l'ultimo esempio, per essere più coerente con l'idea che ho descritto all'inizio, forse converrebbe non rappresentare gli irrazionali come un rettangolo, ma come un altro segmento a distanza $2$ unità classanti dai razionali (depurati dagli interi, evito di riscriverlo) e magari a distanza $\sqrt{1^2+2^2}$ dal segmento dei naturali.
Qui la distanza la sto considerando immaginando tali segmenti come fossero puntiformi... lo so che è una forzatura metodologica, ma ci si può lavorare poi... voglio la distanza reciproca tra le classi che includono tutti i naturali descritti, tutti i razionali descritti e così via

Esempio di problema che nascerebbe non facendo come ho scritto sopra:
Consideriamo lo spazio euclideo tridimensionale e poniamo il nostro contenitore essere il seguente $A := [0, 10000]^3$ (per esteso, $A := [0, 10000] \times [0, 10000] \times [0, 10000]$).
Ora prendiamo il lattice unidimensionale di punti in $[0, 1000]$ e questa per noi è la prima "classe" (perdonatemi se non uso termini tecnici precisi, non mi va di cercare e non è la mia branca), abbiamo quindi $C_1 := {(0,0,0), (1,0,0), (2,0,0), \ldots, (1000, 0, 0)}$.
I razionali li collochiamo a distanza unitaria assegnando valore $1$ alla seconda coordinata degli elementi di $C_2$ (razionali tra $0$ e $1000$, mentre per gli irrazionali tra $0$ e $1000$ assegniamo valore $1$ alla seconda coordinata e valore $2$ alla terza coordinata di ciascun elemento di $C_3$)... così salterebbe tutto il ragionamento legato al concetto di distanza come indicatore di vicinanza tra classi.
Allora magari potremmo ovviare moltiplicando per $5000$ tutte le distanze, cosicché avremmo i razionali con seconda coordinata $5000$ e per gli irrazionali $10000$ sulla terza coordinata, ma ci siamo capiti... è una scelta orripilante.

[megas_archon]

Ok, no, non credo che commenterò più questo muro di testo, quello che dici è un flusso di coscienza indecifrabile. Se vuoi definire una metrica su un insieme, stai considerando uno spazio metrico, fine della storia. E vedere gli spazi metrici come "estensioni del concetto di insieme" è perlomeno peculiare, e andrebbe spiegato in che senso vuoi vederli in questa maniera (me ne vengono in mente due). Del resto affirmanti incumbit probatio.

[marcokrt]

L'ultima volta che mi è venuta un'idea sugli spazi metrici e ho provato a formalizzarla ne è uscito un articolo di 35 pagine (https://arxiv.org/pdf/2311.00016) e onestamente la lezione mi è bastata.
La mia richiesta originaria era quella di eventuali fonti che trattassero l'argomento di considerare più attributi in contemporanea per un dato macro insieme, ciascuno di pertinenza di una specifica sottoclasse disgiunta dalle altre (insieme vuoto come intersezione di qualsiasi coppia di tali sottoinsiemi del principale) all'interno del suddetto macro insieme definito in modo più generale.
In aggiunta, mi sarebbe poi piaciuto accoppiare una misura che definisse la distanza di tali sottoclassi tra loro (annullando idealmente la distanza tra elementi appartenenti alla stessa sottoclasse) in base a criteri da definire all'occorrenza... visto che a quanto sto capendo o non scrivo in modo comprensibile o non sono al momento note tali fonti, lascio qui tutto a beneficio di chi magari vorrà approfondire in proprio l'argomento.

P.S.
Lavorare nello spazio euclideo con qualche forzatura è stata solo la prima cosa che mi è venuta in mente; perdendoci un po' di tempo sono convinto che si sarebbe potuto far fronte alle relative criticità, ma sapendo poi come potrebbe andare a finire, meglio fermarsi qui e non rischiare di iniziare a buttar giù un altro articolo come il suddetto.
Un saluto e buona serata.