Una domanda sullo studio

[philippo]

Ciao a tutti, scusate se rompo con una domanda piuttosto scema però mi incuriosirebbe chiedere qui che vedo essere un forum ricco di persone molto preparate.

Sono studente del cdl in matematica e noto con dispiacere alcune pecche nella mia mente, ossia che per quanto mi piaccia studiare i più disparati argomenti proposti nei corsi purtroppo perdo molte informazioni per strada, e anche molto di base! Cosa che in gente capace per davvero, come qui, vedo che le risposte sono pressoché immediate.

Faccio un paio di esempi:
1) stavo ripensando alle matrici ortogonali e lì per lì mi ero risposto che se vale $M^tM=I$ è sicuramente invertibile, infatti $M^tM=I$ moltiplico a sinistra per M: $M M^tM=M$, da cui $(M M^t)M=M$ e quindi avevo inizialmente concluso che $(I)M=M$.
Il fatto è che nasconde un errore, infatti per passare da $(M M^t)M=M$ a $(I)M=M$ uso la cancellazione e quindi mi serve l'elemento inverso destro che non ho a priori.
Era una cosa su cui avevo già ragionato ma ho dovuto "riscoprirla"

2) stimolato dal punto 1) ho ripassato due cosette e mi sono "ricordato" (o meglio ri-ricavato) che in effetti se ho associatività ho unicità dell'inverso, ma che se ho inversi unici (per una certa operazione) non assicura che io abbia una operazione associativa

3) ecc altri esempi simili

quindi se qualcuno mi avesse chiesto quelle cose così su due piedi le avrei sbagliate senza andare a ricontrollare, però è deludente.

Da qui la domanda:
Quello che mi piacerebbe chiedere è se quando viene posta una domanda anche stupida come quelle sopra di solito dovete ripensare all'argomento, al processo mentale che porta al risultato, oppure se la risposta è immediata e richiamata come dalla memoria senza pensarci (ad esempio se dico bicicletta ho immediatamente la risposta della figura del mezzo e non devo ripensare al fatto che ha un sellino e due ruote e andare a ricostruirmi l'oggetto bici ogni volta da capo. il mio problema soggiace qui: ogni volta mi sembra di dover ricostruire i ragionamenti che mi hanno portato a suo tempo a risposta, è come se non li avessi in memoria; ma non averli in memoria e come non saperli perché devi ri-ricavarli).
Ma come si migliora questo? Per quanto mi impegni sembra proprio non essere una mia prerogativa e mi chiedo se sia comune o solo mia (sfiga).

[albalonga]

A questa domanda dovrebbe risponderti qualcuno di più capace di me, e ci sono i mod di questa e altre sezioni che sono ottimi matematici, s epasseranno di qui .

Però posso darti il contributo fornendoti questo link, è un utente che vedo non posta da un po' a quanto si vede dalla crono, ma sicuramente un ottimo matematico¹ (ero capitato tempo fa sulla questione proprio usando "cerca" perché avevo dubbi simili ai tuoi ):
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0&t=115542


Mi ricordo che in un altro messaggio diceva (purtroppo quello non lo ritrovo più):
1) impara la tua branca della matematica come fosse casa tua
2) ripassa i fondamenti (quindi forse il ripasso è anche importante)
3) esplora fuori da casa tua (altre branche)

non era proprio così ma il senso era quello.

---

Note

1. avevo letto sue risposte date ad altri su dubbi che avevo ↑

[Martino]

Purtroppo ho cattive notizie: penso che tu debba rivedere anche quello che credi di sapere.

stavo ripensando alle matrici ortogonali e lì per lì mi ero risposto che se vale $M^tM=I$ è sicuramente invertibile,

Nota che qui hai scritto "$I$ è sicuramente invertibile". Certo, la matrice identica è invertibile.

infatti $M^tM=I$ moltiplico a sinistra per M: $M M^tM=M$, da cui $(M M^t)M=M$ e quindi avevo inizialmente concluso che $(I)M=M$.

Hai concluso che $M=M$? Ogni matrice è uguale a se stessa, questo mi sembra abbastanza ovvio. Cioè il tuo ragionamento ti ha portato a "concludere" una cosa ovvia, ma allora perché l'hai fatto?

Il fatto è che nasconde un errore, infatti per passare da $(M M^t)M=M$ a $(I)M=M$ uso la cancellazione e quindi mi serve l'elemento inverso destro che non ho a priori.
Era una cosa su cui avevo già ragionato ma ho dovuto "riscoprirla"

Quando sono arrivato qui, ho capito che quello che stai cercando di dimostrare è che se $M^t *M = 1$ allora $M*M^t=1$.

Mi risparmio 4 pagine di discussione: se ne era parlato qui (ti suggerisco di leggerlo tutto).

2) stimolato dal punto 1) ho ripassato due cosette e mi sono "ricordato" (o meglio ri-ricavato) che in effetti se ho associatività ho unicità dell'inverso, ma che se ho inversi unici (per una certa operazione) non assicura che io abbia una operazione associativa

Se hai associatività hai unicità dell'inverso? In che senso? Se vuoi dire che l'associatività da sola implica l'unicità dell'inverso, ho paura che ciò non sia vero (come fai ad avere l'unicità dell'inverso se non ne postuli nemmeno l'esistenza?).

Quanto al resto, in matematica non c'è speranza di trattenere tutto nella memoria. Bisogna capire le cose, non ricordarle. Questa in realtà è un'ottima notizia: una volta capita, una cosa non si dimentica mai. Per fare un esempio stupido, se hai letto e capito come si dimostra la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado, poi diventa impossibile dimenticare la formula stessa.

In ogni caso, è normale dimenticare qualcosa. L'idea però è che qualsiasi cosa dimentichi poi la recuperi in fretta consultando un buon testo (come per le lingue: se non le usi per un po' le dimentichi, ma se poi torni ad usarle le recuperi in fretta).

[phillippo]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

devo aver fatto un casino con la password essendomi registrato dal cell e avrò cliccato qualche numero che non c'era, insomma, non so perché non riesco più a recuperarla. Perdonatemi, da ora userò questo per forza.

Comunque spiacente di aver scritto da cane e averti fatto rispondere mezza pagina, però esatto

Quando sono arrivato qui, ho capito che quello che stai cercando di dimostrare è che se...

mi ero incastrato in quella parte e noto con piacere che nel link si arriva alla conclusione che mi ero dato. Sì, condivido, avevo spiegato male, malissimo ma è quello.

Se hai associatività hai unicità dell'inverso? In che senso? Se vuoi dire che l'associatività da sola implica l'unicità dell'inverso, ho paura che ciò non sia vero

certo, hai ragione, intendevo postulando un inverso.

Quanto al resto, in matematica non c'è speranza di trattenere tutto nella memoria. Bisogna capire le cose, non ricordarle.

quello che volevo dire con questi due esempi era che, erano cose a cui avevo pensato mesi fa quando ho studiato algebra1, poi ora mi trovavo di fronte al probelma e non avevo risposta immediata. Ho dovuto ri-ragionarci per ritrovare cose che già sapevo all'epoca e sta cosa mi faceva innervosire.

L'esempio calzante era

ad esempio se dico bicicletta ho immediatamente la risposta della figura del mezzo e non devo ripensare al fatto che ha un sellino e due ruote e andare a ricostruirmi l'oggetto bici ogni volta da capo. il mio problema soggiace qui: ogni volta mi sembra di dover ricostruire i ragionamenti che mi hanno portato a suo tempo a risposta

quindi quello che mi incuriosiva chiedere a qualcuno che ha capacità matematiche come vedo dalla tua risposta. E' normale ridoverci ragionare su queste cose o se ti si pone quella domanda (tipo le due sopra, però scritte bene ) la risposta è immediata?

Il mio problema di fondo è quello, che ho dovuto ripensarci che l'associatività + elemento neutro implica unicità, non avevo una risposta pronta eppure mesi fa lo sapevo subito, questo intendevo con "dimenticato".

[Martino]

E' normale ridoverci ragionare su queste cose o se ti si pone quella domanda (tipo le due sopra, però scritte bene ) la risposta è immediata?

Ti rispondo così: se la domanda è scritta bene, la risposta non richiede tanto sforzo.

Il mio problema di fondo è quello, che ho dovuto ripensarci che l'associatività + elemento neutro implica unicità, non avevo una risposta pronta eppure mesi fa lo sapevo subito, questo intendevo con "dimenticato".

Però lo vedi qual è il problema? Che tu scrivi (*) "associatività + elemento neutro implica unicità" e questo non è vero. Stai formulando un asserto in modo molto impreciso, ed è per questo che poi te lo dimentichi. Se posso darti un consiglio, fai la cosa seguente: formula quello che vuoi dire con tutte le ipotesi e le definizioni giuste, e poi dimostralo. Ti consiglio di farlo davvero, e ti accorgerai che non ha senso provare a ricordarsi le cose usando formulette come (*).

Dai troppa importanza al risultato finale, quello che conta è come ci sei arrivato (e in particolare, quello che conta è il fatto stesso che ci sei arrivato). Cioè è lo sforzo di formulare qualcosa e dimostrarlo almeno una volta (con tutti i dettagli) che ti permette di ricordarlo.

[phillippo]

Grazie per i tuoi insegnamenti, ti ringrazio tanto. Perché anche imparare a studiare al meglio è molto utile. E purtroppo forse devo ancora imparare molto in questo e mi sto sforzando di farlo.

formula quello che vuoi dire con tutte le ipotesi e le definizioni giuste, e poi dimostralo. Ti consiglio di farlo davvero, e ti accorgerai che non ha senso provare a ricordarsi le cose usando formulette come

il fatto è che, se anche le formulo bene, poi mi dimentico come le ho formulate a distanza di tempo le varie ipotesi e i tortuosi ragionamenti per cui ho trovato risultati. E devo ripensarci comunque parecchio.

Non riesco cioè ad avere

se la domanda è scritta bene, la risposta non richiede tanto sforzo.

a me richiede sforzo. Ad esempio nel mio punto 1) di apertura quando pensavo che valesse "se $M^t *M = 1$ allora $M*M^t=1$", ho dovuto pensarci per capire che non era vero. Non avevo cioè la risposta pronta subito e quel ri-ragionare lo vedo come un fallimento in quel che avevo imparato perché non ho saputo dare subito la risposta.

Ti consiglio di farlo davvero, e ti accorgerai che non ha senso provare a ricordarsi le cose usando formulette come (*)

in realtà non volevo farla passare come formula, volevo solo rendere l'idea che non avevo immediatezza di risposta a un quesito del genere, anche molto banalotto.

Però, siccome mi stai dando consigli utilissimi, voglio fare quello che mi suggerisci.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

In questo specifico caso per formalizzare (avevo soprassieduto per non fare un messaggio kilometrico, ma) la mia idea era questa:

prendevo una struttura algebrica $(X,*)$ per cui valesse che ho inverso destro e sinistro, quindi:
$forall x in X$ esistono $s e d in X$ t.c.
- x*d=e con e neutro
- s*x=e

solo facendo questo ragionamento mi ero ri-accorto che SE vale l'associatività allora ho unicità.
All'epoca lo sapevo subito, come sapevo subito che "$M^t *M = 1$ => $M*M^t=1$" era una stupidaggine. Ma oggi, per capirlo, ho dovuto rifarlo daccapo

Però vedi, devo rifarmi tutto il ragionamento. ma non posso ogni volta che ho bisogno di ricordare quale proprietà appartiene a quale struttura rifarmi tutto sto percorso . Mi sembra invece che quando rispondete qui sul forum, avete già la risposta... senza perdere tutto questo tempo

[Martino]

quel ri-ragionare lo vedo come un fallimento in quel che avevo imparato perché non ho saputo dare subito la risposta.

Ecco, probabilmente è questo il problema. Che dai un giudizio alle cose che succedono. Smetti di giudicare i processi mentali e vivrai più in pace. Il cervello funziona benissimo: qualsiasi sforzo mentale ti imprime l'esperienza nella memoria. Non c'è nessun bisogno di giudicare i processi mentali. Giudicare i processi mentali è tempo perso.

non avevo immediatezza di risposta a un quesito del genere, anche molto banalotto.

Lo hai deciso tu che è banalotto?

Mi sembra invece che quando rispondete qui sul forum, avete già la risposta... senza perdere tutto questo tempo

Anche qui, stai giudicando i processi mentali (e senza sufficienti informazioni per poterlo fare). Non ti puoi paragonare a un insieme di persone se non hai sufficienti informazioni per poterti paragonare. Quanto tempo hai passato a studiare algebra?

In sintesi, passa il tempo a fare anziché a giudicare quello che fai (e come lo fai), e se non ti ricordi qualcosa ri-ricavatelo e prosegui. Arriverà il giorno in cui sarai in pace con te stesso

[phillippo]

Il cervello funziona benissimo: qualsiasi sforzo mentale ti imprime l'esperienza nella memoria

sì, forse ho troppa paura funzioni male .

Lo hai deciso tu che è banalotto?

con supponenza sì , no, parte gli scherzi, intendevo che è una cosa che qualunque "matematico" sa, banalotta perché proprio di base!

Non ti puoi paragonare a un insieme di persone se non hai sufficienti informazioni per poterti paragonare.

però sicuramente persone capaci vedendo il tenore e le risposte immediate. E quindi ho una certa invidia (sana), nel senso che anche saper metà di quelle cose mi renderebbe felice e in pace.

Quanto tempo hai passato a studiare algebra?

purtroppo sempre meno di quanto vorrei in ogni corso, mi sembra che vada tutto a x10 e cerco di fare il massimo. Quindi i 4 mesi di corso, e sicuramente ne dedicherò di più in futuro perché mi piace quello che mi lascia quando lo faccio (anche se poi la scordo come dicevo lol).

Arriverà il giorno in cui sarai in pace con te stesso

questo è un altro ottimo metainsegnamento.

Grazie per avermi dato risposta, nonostante i miei dubbi scemi.

[albalonga]

Comunque, credo sia difficile che chi risponde sul forum abbia sempre la risposta pronta come il tuo esempio della bicicletta. Magari anche al tuo quesito banale un utente esperto potrebbe ri ricavarselo come di ci tu. Solo che, data l'esperienza, gli viene tutto più rapidamente.

Suppongo eh, poi magari @Martino¹ smentirà ma ho la sensazione che pensi che la gente abbia una risposta rapida e definitiva all'istante, anche su quesiti semplici. Bisogna sempre metterci la testa.

---

Note

1. sicuramente più indicato di me ↑

[phillippo]

Grazie per le risposte!

Sì, comunque come dite voi mi inquietava il doverci ri-ragionare. perché di solito nella mia esperienza quando imparo qualcosa lo so e basta, mentre con i concetti matematici no, non riesco a ripescarli seduta stante ma devo sempre metterci risorse mentali per ri-ragionare (anche per concetti base) e mi incuriosiva chiedere a qualcuno che lo fa di professione se fosse normale o se invece gli veniva risposta istantanea.

Per quello mi incuriosiva