Una congruenza più unica che rara!

[marcokrt]

Vi propongo la versione "potenziata" di un problema che mi è capitato di affrontare nel corso delle mie ricerche sulla velocità di congruenza della tetrazione, ma che credo sia interessante di per sé (questo risultato è già stato dimostrato, sia per conto mio che in modo indipendente, quindi vi inviterei a prenderlo come un esercizio mediamente impegnativo di teoria dei numeri e provarci per conto vostro senza cercare la risposta online ).

PROBLEMA: \(\DeclareMathOperator\len{len}\) Si consideri il comune sistema di numerazione decimale. Siano \(a, b \in \mathbb{N} -\{ 0, 1 \}\); inoltre definiamo \({^{b}a}\) essere \(a^a\) se \(b = 2\) e \(a^{\left(^{b-1}a \right)}\) se \(b \geq 3\) (per esempio, \({^{3}5} = 5^{\left( 5^5 \right)} = 5^{3125})\).
In aggiunta, poniamo \(\len({^{b}a}) := \lfloor{\log_{10} (^{b}a) }\rfloor + 1\) così da poter indicare in modo compatto il numero delle cifre di \({^{b}a}\) (per capirci, se abbiamo che \(a=5\) e \(b=2\), allora risulta \(\len({^{2}5}) = \len(3125) = 4)\).

DOMANDA: Dimostrare rigorosamente che \({^{b}a} \equiv {^{b+1}a \pmod {10^{\len({^{b}a})}}}\) solo se \(a=5\) (si noti che \(a=5\) è chiaramente una soluzione valida, giacché \({^{2}5} \equiv {^{3}5} \pmod {10^4})\).

Buon divertimento e buona matematica a tutti!

N.B. Ho ridefinito la tetrazione intera, imponendo che abbia un'altezza almeno pari a \(2\), perché altrimenti avremmo infinite soluzioni (tutte quelle date dalla sequenza A082576 della OEIS - cfr. https://oeis.org/A082576 – depurata del suo primo termine!).

P.S. Ho eliminato un'ambiguità formale nella domanda (riscrivendola come \({^{b}a} \equiv {^{b+1}a \pmod {10^{\len({^{b}a})}}} \Rightarrow a=5\)) in seguito al dubbio avanzato dall'utente @megas_archon, che ringrazio per la precisazione (ho lasciato comunque l'esempio, anche se non più necessario, per facilitarne ulteriormente la comprensione).

[marcokrt]

Perdonatemi, anche se era implicito nei dati del problema, ho preferito editare per specificare che stiamo considerando il classico sistema di numerazione decimale (radix-\(10\)).
Colgo l'occasione per chiedere se qualcuno stesse provando a risolvere questo quesito che mi rendo conto essere non banale e se magari servisse un piccolo suggerimento/aiuto.

[megas_archon]

Più che necessitare di un suggerimento, non si capisce come sia quantificato $b$ nella domanda: dimostrare che se per ogni b, \({}^ba\equiv {}^{b+1}a\) allora $a=5$? Dimostrare che se esiste $b$ tale che \({}^ba\equiv {}^{b+1}a\) allora $a=5$?

[marcokrt]

Più che necessitare di un suggerimento, non si capisce come sia quantificato $b$ nella domanda: dimostrare che se per ogni b, \({}^ba\equiv {}^{b+1}a\) allora $a=5$? Dimostrare che se esiste $b$ tale che \({}^ba\equiv {}^{b+1}a\) allora $a=5$?

A me in realtà pare tutto ben definito, giacché ho dichiarato essere \(b\) un qualsiasi numero intero dato, purché strettamente maggiore di \(1\) e dunque \(b\) può variare in tutti i naturali maggiori o uguali a \(2\)...
Banalmente, ho ridefinito una generica tetrazione intera, imponendovi la condizione che la sua altezza debba essere almeno pari a \(2\), chiamando la sua base \(a\) e la sua l'altezza \(b\).
Ora, essendo la tetrazione (come la potenza) un operatore binario, per calcolare \(a\) tetratto \(b\) si deve preventivamente assegnare un valore sia alla base che all'iperesponente; pertanto l'esercizio da me proposto (che capisco non essere semplicissimo) chiede di dimostrare che l'unica coppia \((a,b)\) tale per cui valga la congruenza assegnata sia proprio \((a=5 \wedge b=2\) ).

P.S. Ho riletto come ho scritto la domanda iniziale (con il se e solo se) e in effetti, avendo tagliato una parte del testo originario che avevo scritto in inglese, potrebbe errere imprecisa... a noi interessa l'implicazione semplice (il "solo se"). Nel contesto di riferimento fisso sempre la base e faccio variare l'iperesponente, perché lo assegno come \(b:=b(a)\), ora spero sia tutto chiaro.

[megas_archon]

No, e non penso tu abbia capito cosa ti ho chiesto. Ti ho chiesto: b è una variabile quantificata universalmente o no? Cioè, va dimostrato che "se per ogni b si ha [congruenza] allora a=5", oppure che "se esiste b tale che [congruenza] allora a=5"?

[marcokrt]

No, e non penso tu abbia capito cosa ti ho chiesto. Ti ho chiesto: b è una variabile quantificata universalmente o no? Cioè, va dimostrato che "se per ogni b si ha [congruenza] allora a=5", oppure che "se esiste b tale che [congruenza] allora a=5"?

La risposta mi pare più che ovvia, giacché l'unico intero che verifica la tua richiesta è l'unità, ma essa non appartiene al dominio di \(a\) che ho dichiarato nell'esercizio...
Per fugare il tuo dubbio, basta che provi a sostituire \(a=5\) e \(b=3\) nella relazione di congruenza data (\(^3{5}\) è un numero di \(2185\) cifre, ma non ci serve di andare tanto in profondità!) e vedrai che già non è più verificata (i.e., abbiamo che \(^3{5} \equiv 908203125 \pmod{10^9}\), mentre \(^4{5} \equiv 408203125 \pmod{10^9}\) e quindi la congruenza a base \(a=5\) proprio non tiene per alcun \(b > 2\), da lì la mia risposta sintetica).
In sostanza, non ho specificato nella domanda iniziale che la congruenza non si deve per forza estendere a ciascun \(b\) dell'insieme dato, ma basta che valga per un qualche iperesponente intero maggiore o uguale a \(2\).
A me poi fa sempre piacere chiarire i dubbi o le imprecisioni che magari posso commettere scrivendo qui a tempo perso...