Negazione logica

[menegazzi]

Ciao a tutti, non sono un matematico o logico e mi sono incuriosito leggendo la pagine wikipedia dei quantificatori:

Avrei un dubbio che non riesco a risolvere bene ed è questo:

∀gatto ∃ un occhio

se volessi negarla avrei non (per gni gatto esiste un occhio), quindi:

esiste un gatto t.c. non esiste un occhio

ma ora se compio l'ultima negazione sul quantificatore esiste mi esce una schiefezza:

esiste un gatto tale che per ogni non occhio?


Il riferimento sarebbe: https://it.wikipedia.org/wiki/Quantific ... ivi_logici

E che cavolo vorrebbe dire è evidente che sbaglio qualcosa ma non capisco bene che cosa.

[menegazzi]

Ok ragionandoci sono forse riuscito a rendere piu formale

∀x, (G(x)=>∃y O(y)) con G(x) x è gatto e O(y) y è occhio.

Qui negando viene ∃x,(G(x) e per ogni y O(y)), quindi esiste x nell'universo che è un gatto tale che ogni elemento del gatto non è un occhio. Sembra andare ma c'è un ma

∀x, (G(x)=>∃y O(y)) si pò scrivere brevemente come ∀G(x),∃O(y) in modo compresso e dovrebbe andare bene a intuito: (per) ogni gatto ha (esiste) un occhio, ma qui se nego viene il pasticcio che dicevo esiste un gatto tale che per ogni non occhio. Ma se le due scritture sono equivalenti dovrebbe funzionare la negazione anche su quest'ultima credo.

[Martino]

"Per ogni gatto esiste un occhio" è vero perché esiste almeno un occhio e quindi "esiste un occhio" è vero indipendentemente da cosa ci quantifichi prima. Per capirci meglio, se io dico "per ogni numero, esiste 1" è vero perché 1 esiste a prescindere. Sarebbe diverso se dicessi "per ogni gatto $x$ esiste un figlio di $x$", questo è falso perché ci sono gatti senza figli.

Se quello che viene dopo la quantificazione non dipende dall'entità quantificata (come per esempio l'occhio, che non dipende dal gatto), è un po' come se non avessi quantificato affatto.

Forse intendevi dire che ogni gatto ha almeno un occhio? Potrebbe essere falso (potrebbero esserci gatti senza occhi).

[menegazzi]

Grazie, allora vediamo se riesco a trasformarlo in formule, il tuo discorso, perché mi pare che il linguaggio parlato mi crei molti dubbi mentre con le forule mi torna già di più e comprendo meglio.

"Per ogni gatto esiste un occhio" è vero perché esiste almeno un occhio e quindi "esiste un occhio" è vero indipendentemente da cosa ci quantifichi prima. Per capirci meglio, se io dico "per ogni numero, esiste 1" è vero perché 1 esiste a prescindere

se ho ben capito qui mi stai spiegando che sempre con il senso di G gatto e O occhio: con 'per ogni gatto esiste un occhio' starei affermando (∀x,G(x)),(∃y,O(y)) cioè per farla più breve (∀G),(∃O) e quindi la quantidicazione è limitata al gatto e non rendeva bene quello che voleva dire.
Osservazione aggiuntiva, in questo caso ovviamente il senso della frase non cambierebbe se inverto esiste con per ogni: (∃y,O(y)),(∀x,G(x)) e il senso è esatamente quello di prima.

Per ora mi sembra tutto sensato, o almeno ci spero.

Forse intendevi dire che ogni gatto ha almeno un occhio? Potrebbe essere falso (potrebbero esserci gatti senza occhi).

esatto, certo può essere falsa ma al di là del falso o meno volevo renderlo in formule.

L'idea mi sa che era proprio la frase che scrivi, volevo rendere che ogni gatto ha un occhio con per ogni gatto esiste un occhio (sottointendevo di quel gatto, in modo errato).

Quindi la scriverei come: ∀x,(G(x)=>∃y O(y)) se poi la negassi avrei ∃x,(G(x) e ∀y O(y)), quindi esiste x nell'universo che è un gatto tale che ogni elemento del gatto non è un occhio. Mi sembra giusto perché ho solo seguito le regole di negazione applicate a quantificatori e implicazione.

Da qui rimarrebbero due domande.
L'unico dubbio è che avendo messo in ∀x, (G(x)=>∃y O(y)) un O(y), sembra che l'occhio non dipenda dal gatto, non so se dovrei metterci un O(x,y) per dare il senso di dipendenza anche da x gatto? Però mi sembra che la dipendenza sia già esplicita per via della parentesi che dice che per ogni si applica a (G(x)=>∃y O(y))

L'altra domanda invece che mi rimaneva è questa:
ammesso che ∀x, (G(x)=>∃y O(y)) voglia dire 'ogni gatto ha almeno un occhio', essa dovrebbe potersi scrivere brevemente come (∀G(x),∃O(y)) o comunque (∀G(x),∃O(x,y)) in modo compresso e dovrebbe andare bene a intuito dato che la parentesi si gioca su enrambi, quindi: (per) ogni gatto ha (ossia esiste per quel gatto) almeno un occhio, ma qui se nego viene il pasticcio che dicevo: 'esiste un non gatto tale che per ogni non occhio'. Non mi sembra più funzionare ma se le due scritture, compressa e non, sono equivalenti dovrebbe funzionare la negazione anche su quest'ultima credo e di fatto io ho solo negato,
not(∀G(x),∃O(x,y)) --> (∃ notG(x),∀ notO(x,y))

[Martino]

Faccio molta fatica a capire di cosa parli perché il linguaggio che usi non è formale (anche se lo può sembrare) e mi limito a dire un paio di cose.

Quindi la scriverei come: ∀x,(G(x)=>∃y O(y)) se poi la negassi avrei ∃x,(G(x) e ∀y O(y)), quindi esiste x nell'universo che è un gatto tale che ogni elemento del gatto non è un occhio. Mi sembra giusto perché ho solo seguito le regole di negazione applicate a quantificatori e implicazione.

Qui stai scrivendo parole in libertà che non hanno un significato reale. Cosa vuol dire G(x)? Gatto di x? Cosa vuol dire O(y)? Occhio di y? Cos'è un "elemento del gatto"? Sono tutte sovrastrutture che hai creato dal nulla (e che hanno il solo effetto di intralciare il tuo discorso e la tua comprensione).

Consideriamo la proposizione "ogni gatto ha almeno un occhio", che potrebbe essere vera o anche no, non importa. La sua negazione è "esiste un gatto senza occhi" (perché non avere almeno un occhio significa non avere occhi). Fine.

Scrivere G(x) e O(y) non ha senso (se vuoi dargli un senso li devi definire rigorosamente). Parlare di "elementi del gatto" non ha senso.

Comunque sposto nella sezione giusta.

[menegazzi]

Ti ringrazio per lo spostamento. Io avevo visto la sezione ma dato che non sono un universitario e non studio matematica o logica mi sembrava la mia domanda più generale e poco interessante per la sezione vera di logica. Da qui l'ho messo in generale.

Però ho capito la tua spiegazione, e la frase mi è chiara. Però mi piacerebbe tanto capire come riuscire a renderla in formule, perché sono convinto mi aiuterebbe anche in situazioni future dato che lasciano meno spazio a errori. Però mi dicevi che ho sbagliato a farlo, e vorrei chiederti se potessi aiutarmi a scriverle in modo rigoroso.

"ogni gatto ha almeno un occhio" e "esiste un gatto senza occhi" come si mettono qundi in formule?

Forse dopo la tua risposta la scriverei come ∀x in A,(G(x)=>∃y in B O(x,y)) dove x è un elemento dell'insieme animali e G(x) è l'anmale x è un gatto e O(x,y ) l'elemento y dell'animale x è un occhio, con y elemento di B cioè l'insieme delle parti che compongono un gatto.

A questo punto avendo precisato gli insiemi di definizione direi che la negazione è ∃x,(G(x) e ∀y O(x,y))?

Forse così risponderebbe alla prima domanda del mio messaggio di prima, però lasciando l'interpretazione di x,y G O come qui detto, mi sembra comunque lecita la seconda domanda:

∀x in A,(G(x)=>∃y in B O(x,y)) posso sineizzarla con ∀G,∃O cioè ogni gatto ha almeno un occhio e negando: ¬(∀G,∃O) diventa ∃¬G,∀¬O (che diventa una frase insensata), ma forse qua il problema è che so mischiando due modi di procedere, e compattare così la formula ed eseguire la negazione con le regole sui quantificatori non funziona più.

[Martino]

Di solito in logica e in matematica si fa come segue. Sia $G$ l'insieme dei gatti. Ogni gatto lo consideriamo uguale all'insieme delle sue parti, cioè 4 zampe, 2 orecchie ecc. (Ovviamente se il gatto in questione ha perso una zampa allora nell'insieme corrispondente ci saranno solo 3 zampe ecc.).

In altre parole ogni $x in G$ (ogni $x$ appartenente a $G$) è a sua volta un insieme. Cioè per gli scopi di quanto stiamo dicendo consideriamo i gatti come insiemi (ogni gatto è l'insieme delle sue parti).

Questo non eravamo obbligati a farlo, ma è un modo di formalizzare meglio cosa intendiamo per "gatto" (la parola gatto non significa niente dal punto di vista logico finché non le diamo un significato).

"$x in G$" si legge "$x$ appartiene a $G$" oppure "$x$ è un elemento di $G$".

Ora sia $O$ l'insieme degli occhi. Qui voglio dire tutti gli occhi che esistono nel mondo (e non solo di esseri umani, anche degli altri animali). Quindi $O$ è un insieme finito ma molto grande.

"Ogni gatto ha almeno un occhio" si può ora scrivere così:

$AA x in G$
$EE y in O$
$y in x$

Da leggersi "per ogni elemento $x$ di $G$ esiste un elemento $y$ di $O$ tale che $y$ appartiene a $x$".

La sua negazione ("esiste un gatto senza occhi") è

$EE x in G$
$AA y in O$
$y notin x$

Da leggersi "esiste un elemento $x$ di $G$ tale che per ogni elemento $y$ di $O$, $y$ non appartiene a $x$".

[menegazzi]

Grazie per la spiegazione, mi è chiara ed è geniale l'idea di considerare il gatto come insieme e comprendo così $y in x$.

Però, dato che non capisco dove sbaglio io vorrei provare a renderti la vita più facile riscrivendo così magari sai correggermi l'errore, perché vorrei capire dove risiede e ci sto impazzendo a non capirlo.

Definisco:
- $x$ come elemento di un insieme $A$ che è quello degli animali
- $y$ è un elemento di $B$ insieme delle parti che compongono i gatti¹ (quindi occhi, zame coda ecc.)
- $G(x)$ la proposizione "$x$ è un gatto"
- $O(x,y)$ la proposizione "$y$ è elemento dell'animale $x$"

Fatto ciò scrivo: $∀x in A,(G(x)=>∃y in B$ tale che $O(x,y))$ che mi sembra potersi leggere "per ogni animale x in A se x è un gatto allora esiste y (elemento delle parti che compongono un gatto) tale che y è un occhio (de gatto x)"

Ok è un po' arzigogolata però alla fin fine mi sembra essere che "ogni gatto ha almeno un occhio"

La negazione diventa in modo ovvio: $∃x in A$ tale che$(G(x) e ∀y ¬O(x,y))$ di nuovo strano modo per dire "esiste un animale tale che è un gatto e ogni sua parte non è un occhio (cioè non ha occhi)", che mi sembra essere esiste un gatto senza alcun occhio.

Sono disperato perché non vedo l'errore


Aggiunta dopo:
Forse ci arrivo tardi ma in effetti è uguale:
$AA x in G$
$EE y in O$
$y in x$
Scriviamola così: $AA x in G,EE y in O$ t.c.$y in x$ ed espandendola non è altri se non
$AA x, (x in G => EE y in O$ t.c.$y in x)$ e quindi:
- $x in G$ è la mia $G(x)$ ed
- $y in O$ t.c.$y in x$ è la "mia" $∃y in B$ tale che $O(x,y)$.

Forse è così

Infine

∀x in A,(G(x)=>∃y in B O(x,y)) posso sineizzarla con ∀G,∃O cioè ogni gatto ha almeno un occhio e negando: ¬(∀G,∃O) diventa ∃¬G,∀¬O

questa è una stupidata perché la scrittura ∀G,∃O non è logicamente corretta e poi se vado a negare una cosa scritta male èovvio che mi trovo ∃¬G,∀¬O "esiste un non gatto per ogni non occhio", perché parto da una frase logica già mal posta direi?

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Note

1. O se vogliamo essere più generali ancora B è l'insieme delle parti che compongono gli animali (mettiamo per semplificarci la vita che intendiamo con animali esseri viventi che tutti abbiano zampe coda occhi ecc) ↑

[Martino]

$O(x,y)$ la proposizione "$y$ è elemento dell'animale $x$"

Sei sicuro? Non è questo che intendi con $O(x,y)$, ci dovrebbero essere gli occhi di mezzo.

Comunque quello che hai detto in seguito è sostanzialmente giusto, a meno di alcuni errori di forma.

La negazione diventa in modo ovvio: $∃x in A$ tale che$(G(x) e ∀y ¬O(x,y))$ di nuovo strano modo per dire "esiste un animale tale che è un gatto e ogni sua parte non è un occhio (cioè non ha occhi)", che mi sembra essere esiste un gatto senza alcun occhio.

Sono disperato perché non vedo l'errore

Non ci sono errori sostanziali, ma devi chiarire cosa intendi con $O(x,y)$ perché non si è capito.

Infine

∀x in A,(G(x)=>∃y in B O(x,y)) posso sineizzarla con ∀G,∃O cioè ogni gatto ha almeno un occhio e negando: ¬(∀G,∃O) diventa ∃¬G,∀¬O

questa è una stupidata perché la scrittura ∀G,∃O non è logicamente corretta e poi se vado a negare una cosa scritta male èovvio che mi trovo ∃¬G,∀¬O "esiste un non gatto per ogni non occhio", perché parto da una frase logica già mal posta direi?

No, la negazione di "per ogni gatto esiste un occhio" non è "esiste un non gatto per ogni non occhio", non ti sembra? La negazione di "per ogni gatto esiste un occhio" è "esiste un gatto tale che non esiste nessun occhio" (poi è una frase di pochissimo senso, ma su questo trasvoliamo).

[menegazzi]

ops non so cosa sia successo ma stavo correggendo una cosa nella forma e non tanto nella sostanza di questo messaggio e non so perché inviando nuovamente mi si è sdoppiato.

Cancello qui e lascio nella pagina dopo perché alla fine è una copia di questo