Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli

[pdercoli]

Salve a tutti, da alcuni mesi sto cercando di verificare il contenuto di una mia ricerca sui numeri primi.
Ho inserito su youtube un video in cui spiego in modo esteso tutto il lavoro ma essendo abbastanza lungo scoraggia (se non vi spaventano 1h25 potete cercare "Piergiorgio D'Ercoli" e nel mio canale c'è un video chiamato "numeri primi"). Come nell'oggetto del post ho individuato ciò che ritengo essere la regolarità alla base dei primi e con essa un attacco alla congettura dei primi gemelli che credo corretto e che sto appunto cercando di far valutare.

Tutto il mio lavoro ovviamente richiederebbe un post lunghissimo per il contesto quindi ho deciso di dividerlo in tappe e se qualche utente vuole divertirsi a valutarlo individuando eventuali errori che lo invalidano ne sono felice. Posterò via via tutti i passaggi man mano che sono verificati veri.

[pdercoli]

IPOTESI
tutti i numeri discreti possono essere rappresentati con figure geometriche che ci consentono di associare il concetto di quantità numerica a delle forme omogenee.
La figura che più aiuta a contare (ma anche a fare calcoli se si pensa alla tabellina pitagorica) è il quadrato.
In essa ho cercato la chiave di lettura per i primi gemelli. Già nel quadrato esistono rapporti che si riconducono alle sequenze in N come ad esempio la sommatoria di tutti i dispari che equivale alla sequenza di tutti i quadrati di interi.

Ho quindi pensato che la differenza di due quadrati fosse una sorta di fotogramma dell'espansione dei quadrati e che potesse aiutare a comprendere come "nascono" i numeri trovando una regolarità: la differenza fra quadrati con lato un numero primo > 3 è sempre un numero divisibile per 24.

Questo è sempre verificato e lo si può fare in vari modi.
Dati $a$ e $b$ due numeri primi > 3 con $a>b$ si ha che

$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

dato che $a$ e $b$ sono primi > 3 si ha che

1) $(a+b)$ è pari
2) $(a-b)$ è pari
3) uno fra $(a+b)$ e $(a-b)$ è necessariamente multiplo di 3
4) uno fra $(a+b)$ e $(a-b)$ è necessariamente multiplo di 4

Ponendo l'attenzione solo sui primi gemelli si ha che

1. $(b+2)^2-b^2 = 24n$
2. $(b^2+4b+4)-b^2 = 24n$
3. $4b+4=24n$
4. $4(b+1) = 24n$
5. $(b+1)= 6n)$
6. $b= 6n-1$
7. $a= 6n+1$

tutti i primi gemelli sono infatti nella forma $6n±1$ e in generale tutti i primi sono o nella forma 6n-1 o nella forma 6n+1.

Ho individuato allora tutti i "non primi" nella sequenza $6n±1$ riscontrando che questi sono composti in queste quattro possibili combinazioni:

tutti i composti di $6n-1$:
a1. $(6n-1)(6y-1)$
a2. $(6n-1)(6y+1)$

tutti i composti di $6n+1$
b1. $(6n+1)(6y-1)$
b2. $(6n+1)(6y+1)$


dato che tutte le possibili combinazioni sopra riconducono a loro volta ad un numero nella forma $6n±1$ ho isolato le forme numeriche corrispondenti ai valori di $n$ che restituiscono i composti nelle rispettive combinazioni:

$n$ corrispondenti a tutti i composti di $6n-1$:
a1x. $(6n-1)y-n$
a2x. $(6n-1)y+n$

$n$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6n+1)y-n$
b2x. $(6n+1)y+n$


credo di aver messo sufficiente carne al fuoco e spero di aver suscitato l'interesse di qualche utente. Tutti questi passaggi in una forma simile o analoga li ho affrontati con gli utenti @axpgn e @Zero87 nel post aperto da @MarcoDF "Alla ricerca dei primi" e ho fatto una sintesi anche perché sono aspetti in qualche modo già noti o banali. Ciò che non ho mai riscontrato invece sono le forme numeriche che producono tutti gli $n$ che in $6n±1$ restituiscono valori composti e non primi .
Ho deciso di proseguire in un post dedicato per non sovrappormi alle domande di @MarcoDF

un saluto

[axpgn]

@pdercoli

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Metti pure il link all'altra discussione così chi fosse interessato può già trovare altre informazioni come il link al video per esempio

… la differenza fra quadrati con lato un numero primo > 3 è sempre un numero divisibile per 24.

Questo è vero ma incompleto perciò fuorviante.
Si è già detto che tutti i primi (tranne il due e il tre) sono della forma $v=6k+-1$, una forma però che non genera solo primi ma anche composti.
Lo stesso avviene per la divisibilità per $24$ della differenza tra i quadrati di questi numeri $v$ cioè $24|v_n^2-v_m^2$ è sempre vera sia per i primi che per i composti.

E qui mi fermo perché il passo successivo non mi è chiaro ovvero questo …

Ho individuato allora tutti i "non primi" nella sequenza $ 6n±1 $ riscontrando che questi sono composti in queste quattro possibili combinazioni:

tutti i composti di $ 6n-1 $:
a1. $ (6n-1)(6y-1) $
a2. $ (6n-1)(6y+1) $

tutti i composti di $ 6n+1 $
b1. $ (6n+1)(6y-1) $
b2. $ (6n+1)(6y+1) $

Puoi spiegarti meglio?

[axpgn]

Aggiungo una cosa …

Prima una definizione: denomino con $v$ i numeri della forma $6k+-1$ con $k in NN$ e più precisamente $v_+=6k+1$ e $v_(-)=6k-1$

Come già detto l'insieme dei numeri $v$ è formato sia da numeri primi che da numeri composti ed in particolare da tutti i primi tranne il due e il tre e da tutti e solo i composti che non siano multipli di due o di tre (o di entrambi).
Quindi i composti $v$ sono dei prodotti dei soli numeri $v$ (primi o composti che siano).
Cioè dato un qualsiasi $v_a$ avremo $v_a=v_1*v_2*…*v_n$.

A me questo non dice molto ma vediamo cosa ci puoi dire …

[pdercoli]

Grazie @axpgn

non ho detto che nella forma 6n-1; 6n+1 ci sono esclusivamente numeri primi né che solo i numeri primi godono della proprietà tale per cui la differenza di loro quadrati è multiplo di 24 anzi affermo esattamente quello che affermi tu:

denomino con $ v $ i numeri della forma $ 6k+-1 $ con $ k in NN $ e più precisamente $ v_+=6k+1 $ e $ v_(-)=6k-1 $

Come già detto l'insieme dei numeri $ v $ è formato sia da numeri primi che da numeri composti ed in particolare da tutti i primi tranne il due e il tre e da tutti e solo i composti che non siano multipli di due o di tre (o di entrambi).
Quindi i composti $ v $ sono dei prodotti dei soli numeri $ v $ (primi o composti che siano).
Cioè dato un qualsiasi $ v_a $ avremo $ v_a=v_1*v_2*…*v_n $.

dato che ogni $6k-1; 6k+1$ se entrambi primi sono primi gemelli > 3 e se non lo sono è perché o $6k-1$ o $6k+1$ o entrambi sono composti cerco le possibili forme di $ 6k+-1 $ che non sono numeri primi ma composti e le ho individuate in:

tutti i composti di $6k−1$:
a1. $(6k−1)(6y−1)$
a2. $(6k−1)(6y+1)$

tutti i composti di $6k+1$:
b1. $(6k+1)(6y−1)$
b2. $(6k+1)(6y+1)$

questo a conferma anche di quel che sottolinei e cioè che tutti i $v+$ e i $v-$ della sequenza $6k+-1$ possono essere o primi o composti non multipli di 2 e 3 quindi possono esserlo solo e sempre di valori della serie $v+$ e $v-$

dato che il risultato di questi composti sarà un numero anche esso nella forma $6x+-1$ dove $x$ sarà il valore che restituisce in uno dei due elementi il composto di $6k-1$ o $6k+1$ cerco le forme che, in corrispondenza dei possibili composti a1; a2 e b1; b2, generalizzano questo valore $x$ e le ho trovate in

valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6k-1$:
a1x. $(6k−1)y−k$ o se si preferisce $6ky-y-k$
a2x. $(6k−1)y+k$ o se si preferisce $6ky-y+k$

valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6k+1)y−k$ o se si preferisce $6ky+y-k$
b2x. $(6k+1)y+k$ o se si preferisce $6ky+y-k$

Si può verificare che questi valori a1x, a2x, b1x, b2x sono effettivamente corrispondenti a quel che dico perché
a1. $(6k-1)(6y−1) = 6x+1$ con $x = (6k−1)y−k$
a2. $(6k-1)(6y+1) = 6x-1$ con $x = (6k−1)y+k$

b1. $(6k+1)(6y−1) = 6x-1$ con $x = (6k+1)y−k$
b2. $(6k+1)(6y+1) = 6x+1$ con $x = (6k+1)y+k$

con questi valori posso produrre un crivello che mi permette di eliminare tutti i valori $k$ tali che uno o entrambi gli elementi della coppia $6k+-1$ siano composti. I valori restanti saranno i $k$ produttivi di coppie $6k+-1$ che saranno primi gemelli.

Dato che hai proposto una definizione continuo ad usare questa e quindi prendendo ogni $v_a$ a partire da $v_1$ (che sarà quindi un $v-$) e così via avremo come risultato esattamente quello messo nell'immagine



nella colonna grigia ci sono tutti i valori $k$ del crivello
nelle colonne a dx ci sono tutti i composti per i valori equivalenti a $v_1; v_2; v_3 ... v_n$ corrispondenti a 5, 7, 11, 13, 17,19 ecc. in corrispondenza del valore $k$ restituito da a1x, a2x per i $v_n$ con indice dispari (cioè tutti i $6k-1$) e b1x, b2x per tutti i $v_n$ con indice pari (cioè tutti i $6k+1$)
in ogni cella in cui compare un composto non ho messo il valore discreto ma il risultato della forma $(6k+-1)(6y+-1)$.
nella prima colonna conto le celle valorizzate e dove non ne ho nessuna finirà che quel valore $k$ sarà produttivo di una coppia di primi gemelli

se arriviamo a chiarire questo possiamo vedere come si può trattare questo algoritmo sfruttando le proprietà modulari di a1x, a2x, b1x, b2x

[axpgn]

Ecco, questo non l'ho proprio capito …

… dato che il risultato di questi composti sarà un numero anche esso nella forma $6x+-1$ dove $x$ sarà il valore che restituisce in uno dei due elementi il composto di $6k-1$ o $6k+1$ cerco le forme che, in corrispondenza dei possibili composti a1; a2 e b1; b2, generalizzano questo valore $x$ e le ho trovate in …

Il risultato di quale operazione? Di quali operandi? Cos'è $x$? Da dove esce fuori? Ecc.…

[pdercoli]

le operazioni sono quelle che ho elencato come a1, a2, b1, b2
gli operandi sono $(6k+-1) e (6y+-1)$ che danno vita alle quattro combinazioni a1, a2, b1, b2

il risultato di queste moltiplicazioni sarà a sua volta un numero che chiamo $6x+-1$ perché moltiplicando elementi $v_a$ fra loro continuerò a non avere multipli né di 2 né di 3 e quindi solo valori appartenenti alla serie.
Quindi $x$ seleziona tutti i valori $k$ a cui corrispondono valori composti della serie $v_a$ che non sono primi > 3.
Dato che tutti i $6k-1$ e $6k+1$ che sono entrambi primi sono anche tutti i primi gemelli > 3 uso questa sequenza per fare il crivello che ho introdotto.

Ricapitolando:
- a1, a2 tutti i composti multipli di $6k-1$
- b1, b2 tutti i composti multipli di $6k+1$.

Li elenco di nuovo con l'uguaglianza con la forma composta $6x+-1$:
a1. $(6k−1)(6y−1) = 6x+1$
a2. $(6k−1)(6y+1) = 6x-1$

b1. $(6k+1)(6y−1) = 6x-1$
b2. $(6k+1)(6y+1) = 6x+1$


da queste ho ricavato i valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6k−1$:
a1x. $(6k−1)y−k$ che sostituito in $6x+1$ darà un composto multiplo di $6k-1$ come $v+$
a2x. $(6k−1)y+k$ che sostituito in $6x-1$ darà un composto multiplo di $6k-1$ come $v-$

e i valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6k+1)y−k$ che sostituito in $6x-1$ darà un composto multiplo di $6k+1$ come $v-$
b2x. $(6k+1)y+k$ che sostituito in $6x-1$ darà un composto multiplo di $6k+1$ come $v+$

spero ora sia più chiaro

[marco2132k]

Ma perché ce l'avete tutti con la formula dei numeri primi?

[axpgn]

@marco
Beh, mi sembra che anche tanti Matematici famosi l'abbiano cercata, no?

@pdercoli

il risultato di queste moltiplicazioni sarà a sua volta un numero che chiamo $ 6x+-1 $ …

Va beh, ma anche questo è già stato detto e ridetto ... tra l'altro che per ottenere un numero $v$ siano necessari solo due numeri $v$ è vero e non è vero, nel senso che questa è una limitazione tua (cioè voluta da te) ma per esempio $6*21-1=125=5*5*5$; ma non solo … avendo due "tipi" di numeri $v$ (cioè $v_+$ e $v_(-)$), in teoria abbiamo quattro combinazioni fra gli stessi ma in pratica sono solo tre diverse (tenendo conto della proprietà commutativa della moltiplicazione) cioè $5*7=7*5$, non sono differenti (la simmetria che vedi nel tuo "triangolo" è solo dovuta a questo).

Comunque …

da queste ho ricavato i valori $ x $ corrispondenti a tutti i composti di $6k−1$

non hai ancora detto che cos'è $x$ (e il resto …)

[pdercoli]

@marco forse perché sono affascinanti

@axpgn
la limitazione la pongo perché mi sono concentrato sulla forma $6k+-1$ e da essa si ottiene un insieme con date caratteristiche e inoltre non ho affermato che per ottenere un numero $v$ siano "necessari" due numeri ma che cercando i composti in quelle quattro sequenze avrò come risultato un altro numero $v$. Mi sembra diverso
Ciò che invece affermo è che con quelle quattro sequenze io trovo tutti i $v$ che sono composti indipendentemente dalla complessità della loro fattorizzazione in una forma $v_k*v_y=v_x$

$x$ ho detto essere un valore $∈NN$ restituito dalle forme a1x, a2x, b1x, b2x che mi restituiscono tutti i valori $k$ che in $6k+-1$ hanno un elemento composto. Nel post precedente ho scritto:

da queste (a1, a2, b1, b2) ho ricavato i valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6k−1$:
a1x. $(6k−1)y−k$ che sostituito in $6x+1$ darà un composto multiplo di $6k−1$ come $v+$
a2x. $(6k−1)y+k$ che sostituito in $6x−1$ darà un composto multiplo di $6k−1$ come $v−$

e i valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6k+1)y−k$ che sostituito in $6x−1$ darà un composto multiplo di $6k+1$ come $v−$
b2x. $(6k+1)y+k$ che sostituito in $6x−1$ darà un composto multiplo di $6k+1$ come $v+$

.

Su questo fondo il crivello per individuare le coppie di primi gemelli. Se questo è corretto posso ridurre il problema di sapere se i primi gemelli siano effettivamente in numero infinito dimostrando che sono infiniti i valori $k$ non appartenenti ad a1x, a2x, b1x, b2x.
Se questo è corretto il passo successivo torneranno utili anche le due forme di composti apparentemente uguali perché se a2 e b1 sono uguali per la proprietà commutativa non lo sono a2x e b1x

cosa intendi per?

non hai ancora detto che cos'è x (e il resto …)

mi sembra di aver risposto alle tue domanda già nel post precedente indicandoti :
1) le operazioni
2) gli operandi
3) che cosa è $x$ e che lo ho ricavato dai valori delle quattro sequenze dei composti

se non ci sono errori in queste sequenze e trovi che il crivello è corretto possiamo andare avanti perché è chiaro che fin qui non ho dimostrato ancora nulla ma sto procedendo step by step quindi dire questo è banale oppure questo non serve rallenta. Se ci sono errori qui o avanti significherà che mi sono sbagliato e sarò soddisfatto anche di questo risultato.

Grazie 1000