Quadrati in un campo finito

[andreadel1988]

In un campo finito se $a$ e $b$ non sono quadrati allora $ab$ è un quadrato.
Siccome siamo in un campo finito, preso $a$ un elemento del campo abbiamo che poichè il campo è finito ogni suo elemento può essere scritto come potenza $a$. Inoltre osserviamo che se $c$ è un quadrato e $d$ non è quadrato allora $cd$ non è un quadrato (se per assurdo lo fosse avremmo $x^2d=y^2$ con $c=x^2$ da cui $d=(x^-1y)^2$, ma $d$ non era un quadrato). Siano quindi $a,b$ non quadrati, per quanto detto prima $b=a^k$. Osserviamo che $k$ deve essere dispari poichè per quanto osservato prima $b=a^(k-1)*a$ è un non quadrato se $k-1$ è pari. Ma allora $ab=a^(k+1)$ dove $k+1$ è pari, ma allora $ab$ è un quadrato.
Questa dimostrazione dovrebbe essere giusta, invece volevo riportare un altro ragionamento che non sfrutta l'ipotesi di campo finito (e quindi sbagliata) ma di cui non riesco bene a capire dove sia l'errore:


Supponiamo per assurdo che se $a,b$ sono non quadrati allora $ab$ non è un quadrato. Per quanto osservato nella dimostrazione precedente posso scrivere $ab$ come prodotto di un quadrato e un non quadrato: $ab=c^2d$ ovvero $ab*d^-1=c^2$ . Osserviamo che l'inverso di un non quadrato è un non quadrato, infatti se per assurdo fosse un quadrato avremmo che $dy^2=1$ con $d^-1=y^2$ ma $1$ è un quadrato (di se stesso) mentre il prodotto di $d$ (non quadrato) e $y^2$ dovrebbe essere un non quadrato, assurdo. Ma allora abbiamo che $ab$ e $d^-1$ non sono quadrati e quindi il loro prodotto non dovrebbe essere un quadrato, assurdo.

[Martino]

Stai solo osservando che se $x$ è un non quadrato allora $x^(-1)$ è un non quadrato ma il loro prodotto è $1$, quindi è un quadrato. Questo non è molto significativo.

La negazione logica di

(1) "il prodotto di due non quadrati è un quadrato"

NON è

(2) "il prodotto di due non quadrati è un non quadrato".

Qual è invece la negazione logica di (1) ?

[andreadel1988]

Qual è invece la negazione logica di (1) ?

Esistono due non quadrati il cui prodotto è un non quadrato. Ma in teoria io ho scelto $a$ e $b$ arbitrari quindi non dovrebbe valere per tutti i non quadrati?

[Martino]

Non capisco più di cosa stai parlando. Cosa dovrebbe valere per tutti i non quadrati?

[andreadel1988]

Supponiamo per assurdo che se $a,b$ sono non quadrati allora $ab$ non è un quadrato. Per quanto osservato nella dimostrazione precedente posso scrivere $ab$ come prodotto di un quadrato e un non quadrato: $ab=c^2d$ ovvero $ab*d^-1=c^2$ . Osserviamo che l'inverso di un non quadrato è un non quadrato, infatti se per assurdo fosse un quadrato avremmo che $dy^2=1$ con $d^-1=y^2$ ma $1$ è un quadrato (di se stesso) mentre il prodotto di $d$ (non quadrato) e $y^2$ dovrebbe essere un non quadrato, assurdo. Ma allora abbiamo che $ab$ e $d^-1$ non sono quadrati e quindi il loro prodotto non dovrebbe essere un quadrato, assurdo.

Io ho supposto inzialmente per assurdo che presi due non quadrati qualunque il loro prodotto fosse un non quadrato e poi ho mostrato che il prodotto tra $ab$ e $d^-1$ è un quadrato ma essendo due non quadrati per l'assurdo supposto a inizio dimostrazione il loro prodotto dovrebbere dare un non quadrato...

[Martino]

Esatto, quindi hai dimostrato che è falso che il prodotto di due non quadrati qualunque è un non quadrato (in qualsiasi campo). Ma la dimostrazione di questo fatto è molto più semplice di quella che hai scritto: basta osservare che se $x$ è un non quadrato diverso da zero allora $x^(-1)$ è un non quadrato ma $x x^(-1) = 1 = 1^2$ è un quadrato.

[andreadel1988]

Esatto, quindi hai dimostrato che è falso che il prodotto di due non quadrati qualunque è un non quadrato (in qualsiasi campo).

Ma in teoria per quello che ho scritto il fatto che valga per qualunque non mi assicura che presi due non quadrati il loro prodotto è un quadrato?

[Martino]

Certo che no, ti assicura solo che esistono due non quadrati il cui prodotto è un quadrato.

Se vuoi un esempio esplicito, in $QQ$ abbiamo che $a=2$ e $b=3$ sono non quadrati e $ab=6$ è anch'esso un non quadrato.

[andreadel1988]

Se vuoi un esempio esplicito, in $QQ$ abbiamo che $a=2$ e $b=3$ sono non quadrati e $ab=6$ è anch'esso un non quadrato.

Si no vabe questo lo spaevo perciò ho detto che era sbagliata però tipo per quello che ho detto $2$ e $3$ sono non quadrati e se applico la dimostrazione per assurdo per cui il loro prodotto non è un quadrato (facciamo finta di non sapere che non è un quadrato) come ho fatto mi viene un assurdo...

[andreadel1988]

Per farti capire (facciamo finta di non sapere quanto valgono questi prodotti) $2*3=1/4*24$ da cui $2*3*1/24=1/4$ se ragiono come nell assurdo $3*1/24$ non è un quadrato (dato che prodotto di due non quadrati) e $2*(3*1/24)$ non è un quadrato poiche prodotti di due non quadrati, assurdo. L'assurdo nasce dall aver supposto che presi qualunque quadrati il prodotto fa non quadrato. Per questo ogni volta che ho due non quadrati potrei riapplicare questo ragionamento appunto ponendo $a$ e $b$ uguali a questi due non quadrati e otterei un assurdo