Ciao, sono iscritto al primo anno e sto seguendo alcuni corsi di algebra e analisi e credo di avere due dubbi (che poi temo originino da uno unico) su una dimostrazione. So che è una dimostrazione di analisi, ma non mi importa la dimostrazione in sé quanto più il ragionamento logico e quindi credo questa sezione sia più adatta. Vengo al dunque:
1) Integrali indefiniti:
a) sia f:[a,b]->R una funzione. Se F(x) è una sua primitiva su [a,b] allora anche G(x)=F(x)+c, c in R è primitiva di s sull'intervallo.
b)siano F,G:[a,b]->R due primitive di una funzione f:[a,b]->R allora esiste c in R tale che G(x)=F(x)+c per ogni x in [a,b]
Fin qui anche come dimostrazioni tutto chiaro, ora il dubbio:
Mettendo assieme i due il prof dice:
c) se in un intervallo [a,b] una f ammette primitiva F, allora ne ha infinite che differiscono da F di una costante additiva.
Credo di non capire perché i due teoremi sopra portino al c), vediamo se riesco a spiegare dove mi inceppo e se la soluzione che mi sono dato è corretta...
il thm a) ci dice che presa una funzione F primitiva posso trovare infinite (altre) primitive aggiungendo una arbitraria costante e una alla volta ne ho infinite che sono di nuovo primitiva. Benissimo. Però questo non dimostra che io potrei avere delle (differenti) primitive che non si ottengano per somma di una costante.
Ora prendo b) e dico: due qualunque primitive sono "distanziate" da una costante reale c, però questo non dimostra che siano infinite le soluzioni, però come detto in a) erano infinite quindi i due a) e b) mi danno c)
E' giusto? non mi sento tanto sicuro.
2) La seconda domanda è un po' una generalizzazione della prima perché vedo che generalmente ci sono dimostrazioni del genere e vorrei capire se ho capito bene il senso.
Mettiamo di avere due insiemi A e B, in generale si possono svolgere due dimostrazioni.
s) si dimostra che a ogni elemento di A ne corrisponde uno di B (cioè per ogni elemento di A ho un elemento in B)
t) se dimostro anche che: per ogni elemento di B ho sempre un elemento di A.
Allora concludo che ho un elemento di A se e e solo se ho un elemento di B. Cioè in poche parole ho una biunivocità tra i due elementi. (detto malamente ma credo utile per capire meglio la domanda: non ci sono elementi scoperti tra A e B e sono collegati tutti quelli di A a quelli di B e non "salto" alcun elemento in B)
E' corretto come ragiono(?):
Mi confonde un po' questo concetto per via del ragionamento seguente:
s) con la prima parte posso dimostrare che ogni elemento di A ne ha uno in B, ma B potrebbe avere elementi non "collegati" a nessuno di A. Questo primo problema è risolto dal punto seguente:
t) se con la seconda dimostro però che ogni elemento di B ha un corrispettivo in A allora, noto che B non aveva elementi scoperti come supponevo in s) però potrei ancora dire che in A mancano degli elementi collegabili a B. Tuttavia per via della prima parte dimostrata mi pare di capire che questo non è possibile e questo conclude il ragionamento.
So che è un po' generico come discorso e non so bene come formalizzarlo, però vedo sempre dimostrazioni che si basano su questo concetto e vorrei vederci piu chiaro.