Domanda su automorfismi

[Martino]

Ciao Martino, ma la dimostrazione di quella formula che mi hai scritto la potresti accennare?

Che formula? La cardinalità di \( \displaystyle GL(n,q) \) ?

Per contare le matrici invertibili si procede per colonne. Per la prima colonna va bene qualsiasi vettore non nullo, quindi \( \displaystyle q^n-1 \) scelte, per la seconda qualsiasi vettore che non sia un multiplo del primo, quindi \( \displaystyle q^n-q \) scelte, per la terza qualsiasi vettore che non sia combinazione lineare dei primi due, quindi \( \displaystyle q^n-q^2 \) scelte, e così via.

(Qui \( \displaystyle q \) è la cardinalità del campo base e \( \displaystyle n \) è la dimensione, cosicché \( \displaystyle GL(n,q) \) è l'insieme delle matrici \( \displaystyle n \times n \) invertibili a coefficienti nel campo con \( \displaystyle q \) elementi).

[elatan]

Grazie tante!!!! Hai risposto perfettamente alla mia domanda!

[Stickelberger]

Il caso di $C_n\times C_n$ si può fare ma immagino che venga una formula spaventosamente complicata.

Non e' cosi' male $\ldots$ Il gruppo $Aut(C_n\times C_n)$ e' isomorfo a $GL_2(ZZ_n)$

ed ha $n^4\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})^2(1+\frac{1}{p})$ elementi.

Qua $p$ varia fra i divisori primi di $n$.