Zermelo-Fraenkel e insiemi amorfi

[thedarkhero]

Beh per costruire una successione $f:NN->X$ direi di si, non so se per fare in modo che sia iniettiva serva qualcosa in più...

[otta96]

Beh per quello basta che $X$ sia non vuoto, non c'è nemmeno bisogno dell'assioma della scelta numerabile.

[thedarkhero]

Perchè?

[otta96]

Basta che prendi una successione costante.

[thedarkhero]

Ma con l'assioma della scelta numerabile non posso costruire la successione iniettiva degli $a_n$ che hai usato tu per mostrare che non possono esistere insiemi amorfi?

[otta96]

Non saprei come, se hai qualche idea proponi.

[thedarkhero]

L'assioma della scelta ci dice che data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.
Dunque possiamo pensare ad una famiglia di indici $I$ non vuota e dire che se abbiamo una famiglia di insiemi non vuoti $(x_i)_{i \in I}$ esiste una funzione $f:I->\bigcup_{i \in I}X_i$ tale che $f(i) \in X_i$ per ogni $i \in I$.
In particolare ponendo $X_i=X$ per ogni $i \in I$ ottengo che esiste una funzione $f:I->X$.
Non saprei come provare che esiste una funzione iniettiva $f:I->X$.

Se al posto dell'assioma della scelta assumiamo l'assioma della scelta numerabile, l'unica cosa che cambia è che l'insieme $I$ deve essere numerabile, ma visto che noi vogliamo costruire una successione $(a_n)_{n \in NN}$ questo non dovrebbe creare problemi.
Rimane, come nel caso dell'assioma della scelta, il problema di come provare che esiste una successione iniettiva $(a_n)_{n \in NN}$.

Cosa ne pensi?

[otta96]

Non so bene come si fa a prenderla iniettiva.

[hydro]

Non so bene come si fa a prenderla iniettiva.

Qual è la vostra definizione di insieme infinito?

[thedarkhero]

La definizione di finitezza che considero standard è che l'insieme $X$ è finito se è costituito da esattamente $n$ elementi, dove $n$ è un numero naturale.
Se però assumiamo l'assioma della scelta vi sono molte altre definizioni di finitezza che sono equivalenti a quella standard (si veda ad esempio qui).

Dico che un insieme è infinito se non è finito.