Quadrati in un campo finito

[Martino]

Continuo a non capire. L'assurdo che ottieni cosa dimostrerebbe?

Cioè tu parti da una ipotesi che chiamerò H, e ottieni un assurdo che quindi dimostra che H è falsa. Il problema è che non ho capito quale sia l'ipotesi H da cui parti, cioè H = ?

[andreadel1988]

Continuo a non capire. L'assurdo che ottieni cosa dimostrerebbe?

Cioè tu parti da una ipotesi che chiamerò H, e ottieni un assurdo che quindi dimostra che H è falsa. Il problema è che non ho capito quale sia l'ipotesi H da cui parti, cioè H = ?

Che il prodotto di due non quadrati è non quadrato, questo è l assurdo che suppongo. E siccome è assurdo dovrebbe voler dire che il prodotto di due non quadrati è un quadrato

[Martino]

Che il prodotto di due non quadrati è non quadrato, questo è l assurdo che suppongo. E siccome è assurdo dovrebbe voler dire che il prodotto di due non quadrati è un quadrato

No non è così. L'assurdo implica che esistono due non quadrati il cui prodotto è un quadrato. Ma questo non è per niente sorprendente, già lo sapevi: se prendi un non quadrato $x$ allora $x^(-1)$ è un non quadrato e il loro prodotto è $1=1^2$, un quadrato.

Se questo non ti chiarisce il punto allora non ho proprio capito di cosa stai parlando.

[Martino]

La negazione di

H = "il prodotto di due qualsiasi non quadrati è un non quadrato".

è

non H = "esistono due non quadrati il cui prodotto è un quadrato"

che è molto molto diverso da

J = "il prodotto di due qualsiasi non quadrati è un quadrato".

[andreadel1988]

No non è così. L'assurdo implica che esistono due non quadrati il cui prodotto è un quadrato.

Eh ma $a$ e $b$ erano due quadrati qualunque quindi non posso fare lo stesso ragionamento per qulunque coppia di non quadrati?

[andreadel1988]

La negazione di

H = "il prodotto di due qualsiasi non quadrati è un non quadrato".

è

non H = "esistono due non quadrati il cui prodotto è un quadrato"

che è molto molto diverso da

J = "il prodotto di due qualsiasi non quadrati è un quadrato".

Si concordo con te ma come ho detto l'assurdo posso applicarlo a ogni coppia di non quadrati che scelgo casualmente

[Martino]

Ma se rileggi la tua dimostrazione ti accorgerai che l'assurdo deriva dall'aver supposto H vera, quindi hai solo dimostrato che H è falsa, non so come dirtelo in un modo più chiaro di così.

[andreadel1988]

Supponiamo per assurdo che se $a,b$ sono non quadrati allora $ab$ non è un quadrato. Per quanto osservato nella dimostrazione precedente posso scrivere $ab$ come prodotto di un quadrato e un non quadrato: $ab=c^2d$ ovvero $ab*d^-1=c^2$ . Osserviamo che l'inverso di un non quadrato è un non quadrato, infatti se per assurdo fosse un quadrato avremmo che $dy^2=1$ con $d^-1=y^2$ ma $1$ è un quadrato (di se stesso) mentre il prodotto di $d$ (non quadrato) e $y^2$ dovrebbe essere un non quadrato, assurdo. Ma allora abbiamo che $ab$ e $d^-1$ non sono quadrati e quindi il loro prodotto non dovrebbe essere un quadrato, assurdo.

Mi spiego meglio: se io ho due non quadrati $a$ e $b$ applico questo ragionamento e ottengo che il prodotto deve fare un quadrato. Poi prendo $c$ e $d$ altri due non quadrati e riapplico questo ragionamento e mi viene che il loro prodotto è un quadrato e cosi via , ma cosi ottengono che tutti i prodotti tra non quadrati sono quadrati...

[Martino]

Ma allora abbiamo che $ab$ e $d^-1$ non sono quadrati e quindi il loro prodotto non dovrebbe essere un quadrato, assurdo.

In questo esatto punto stai assumendo H vera e deducendo un assurdo.

[andreadel1988]

Ma allora abbiamo che $ab$ e $d^-1$ non sono quadrati e quindi il loro prodotto non dovrebbe essere un quadrato, assurdo.

In questo esatto punto stai assumendo H vera e deducendo un assurdo.

Esatto, l'assurdo è nato dal fatto che ho assunto che il prodotto fra $a$ e $b$ era un non quadrato, quindi vuol dire che il prodotto fra $a$ e $b$ è un quadrato. Applico questo ragionamento a ogni coppia $a$ e $b$ di non quadrati e ottengo che il prodotto di due non quadrati è un quadrato...