Esercizio su applicazioni lineari

[merlo]

B'={(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}

Ops l'avevo dimenticato...

[merlo]

[quote="Sergio"]
E l'applicazione è quella di prima? Spero di sì.
Per trovare la matrice associata, devi considerare che qualsiasi vettore di uno spazio vettoriale è combinazione lineare degli elementi della base fissata per esso. Quindi, se sai come vengono trasformati gli elementi della base, sai come vengono trasformati tutti i vettori. E basta trovare le immagini della base di partenza, che sono (salvo errori, che vado di fretta: domani ho un esame):
$f(1,1,0)=(0,k,k-1)$
$f(0,1,1)=(1,k,2)$
$f(1,0,1)=(3,0,k+3)$.
A questo punto dovresti trovare le coordinate delle immagini rispetto alla base di arrivo. Dato che questa è canonica, coordinate ed elementi coincidono. Ti basta mettere in colonna le immagini:
$A=((0,1,3),(k,k,0),(k-1,2,k+3))$[/quo

e come le hai calcolate le immagini?

[merlo]

Devo risolvere questo esercizio:
Sia f : R3 -> R3 l’applicazione tale che
f((x, y, z)) = (x − y + 2z, Ky, Kx − y + 3z).

Sarebbe questa?

[merlo]

eh eh...effettivamente ho un pò il cervello fuso..domani ho l'esame di geometria e combinatoria e mi sta prendendo il panico!!!

Quindi per trovare le immagini cosa hai moltiplicato?è questo che non riesco a capire...

[merlo]

è da un mese che mi preparo per dare il mio primo esame, ho riempito un quaderno intero di esercizi sugli argomenti precedenti, ma questo proprio non riesco a capirlo...è triste da dire ma forse non tutti siamo dei geni, io ci ho provato a capire, mi ci sono messo con la testa sul libro ma proprio non ci arrivo...cmq ti ringrazio davvero per aver avuto la pazienza di aiutarmi, mi sei stato di grande aiuto...dico davvero...grazie

[merlo]

Forse ho capito...
ho trovato tra gli appunti questo esercizio

$f:R^2$ ->$R^3$
$f: (x,y)=(2x-y,x+y,x+3y)$
$B$= base canonica di $R^2$ che dovrebbe essere ${(1,0),(0,1)}$
$B^1$=base canonica di $R^3$ che dovrebbe essere ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$

$f(1,0)=(2,1,1)=2(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,0,1)$
$f(0,1)=(-1,1,3)=-1(1,0,0)+1(0,1,0)+3(0,0,1)$

Da qui poi ricava la matrice associata all'applicazione lineare che dovrebbe essere

$A_f^B^B'=((2,-1),(1,1),(1,3))

Per calcolare la matrice associata all'applicazione devo prendere la base canonica di partenza, in questo caso $B$, e devo sostituire i valori nella applicazione in modo da ottenere i due vettori, rispettivamente $(2,1,1)$ e $(-1,1,3)$ che devo successivamente moltiplicare per la base di arrivo $B'$...
Praticamente la matrice A è la matrice associata all'applicazione lineare che passa dalla base B alla base B'...
Ho finalmente capito oppure ho detto solo stupidaggini?

[merlo]

Quindi se la base fosse stata ${(2,1,0),(3,4,6),(1,1,0)}$ il sistemino si ricava in questo modo:

essendo l'applicazione da $R^3$ ->$R^3$

$v=(2,1,1)=x((2),(1),(0))+y((3),(4),(6))+z((1),(1),(0))$

da cui il sistemino

${(2x+3y+z),(x+4y+z=1),(6y=1) :}

In questo modo dovremmo ricavare le immagini rispetto alla nuova base vero?

[merlo]

Ehm si ok...
qundi risolvendo il sistemino ricavo le coordinate dell'immagine...

Per calcolare il nucleo devo risolvere invece questo sistema:

${(x-y+2z=0),(Ky=0),(Kx-y+3z=0) :}


Me per trovare proprio l'immagine?

[merlo]

Ah ho capito...

Solo una cosa stavo risolvendo il sistemino per trovare il nucleo e sono giunto a questo:

${(x=-2z),(y=0),(-2Kz+3z=0) :}$

Come la mettiamo con questo parametro $K$?Continuando nella risoluzione si vede chiaramente che la $x$ dipende da $z$ e $K$ perchè

$-2Kz+3z=0$
da cui
$z(-2K+3)=0$

quindi le soluzioni sono $z=0$ e $K=3/2$

a questo punto ci sono due soluzioni differenti?