Una domanda su una dimostrazione semplice ma che non comprendo bene

[panausen]

Ciao , comprendo benissimo che sia per chi legge uno sforzo immane cercare di capire quello che dice l'interlocutore, per questo ovviamente non lo pretendo e ti ringrazio molto per il tuo intervento. Anzi, essendo io il "richiedente aiuto" devo cercare di adattarmi a quello che rispondi per far capire il mio dubbio e cercherò di fare questo lavoro mentale nel seguito¹...

Prima di tutto una parte sulla notazione:

Come vedi la soluzione particolare x0 non è mai cambiata nel corso della dimostrazione, mentre tu sembri pensare che debba variare in qualche modo (dal tuo disegno mi sembra sia così).

Conta però che la mia soluzione particolare l'avevo chiamata $X''$, tu la chiami $X_0$, però deduco la soluzione particolare sia fissa, mentre in effetti io immaginavo $X''$ (cioè la freccetta nel disegno) "mobile" nella scelta.


Se quanto detto è corretto proseguiamo (da qui in poi uso la tua notazione):
Devo dimostrare
Una generica soluzione (t) di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare (x0) del sistema lineare compatibile ad una generica soluzione (u) del sistema lineare omogeneo associato.

La dimostrazione del libro procede così:
1) siano $x_0$ e $t$ soluzioni qualsiasi di cui t generale e $x_0$ particolare e verifica che $t-x_0$ è soluzione di Ax=B

2) viceversa: data $x_0$ particolare e $u$ generale $x_0+u$ si vede che è soluzione.

E' simile quindi alla dimostrazione tua, perché usa gli stessi passaggi ma non parla di inclusione.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Metto in spoiler questa parte che può essere utile a chiarire meglio, ma non è indispensabile (e se invece risulta solo confusionaria la si salti pure)

La dimostrazione nelle sue due parti dovrebbe giungere a dire
che nella prima parte ho dimostrato che ogni soluzione t si scrive come $x_0+u$ con $u$ scelta che renda vera l'uguaglianza e nella seconda parte dimostro che $x_0+u$ è soluzione qualunque sia $u$, solo unendo le due cose allora una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O

Ma analizzando la dimostrazione non mi sembra funzionare:

Siccome la tua dimostrazione e quella del libro sono simili dovrebbero coincidere e vado ad analizzare i tuoi passaggi mostrando i punti che mi creano dubbi

1]
Seconda parte: nella tua seconda parte in soldoni dimostro che dato un qualunque/per ogni $u$ e assunto (fisso) $x_0$ trovo sempre un t: $t:=u+x_0$ che è soluzione di Ax=B.

Prima parte: qui dimostro che (per) ogni $t$ scelto si può scrivere come $x_0+u$ trovando un certo $u$

Mettendo assieme le due cose però mi sembra che da una parte dico per ogni u esiste un t che mi permette di scrivere $t=u+x_0$, e per ogni t esiste un u che mi permette di scrivere $t=u+x_0$. Ma non che per ogni t e per ogni u posso scrivere $t=u+x_0$. E come se mentalmente non riuscissi a unire le due parti: da una parte dimostro che per ogni t esiste un u per scrivere $t=u+x_0$ (ma non è detto che tutti gli u funzionino, infatti esiste almeno un u, non tutti gli u), parimenti al contrario per ogni u esiste t che permette di scrivere $t=u+x_0$ (ma non è detto che questo si possa fare per tutti i t)

2]
[[segnalo edit]]
La seconda cosa a non tornarmi è questa (che poi è la stessa del punto 1 ma vista in modo insiemistico): prendiamo la tua dimostrazione, io ho dimostrato che $E=T$, ossia che riesco a scrivere un qualunque elementeo di t come elemento di E e vicevesa: $t=x_0+u$, permettimi di scriverlo con questo abuso di notazione: ${t}={x_0+u}$ per ogni fissato x0.
Ebbene, non capisco: questo dovrebbe dire "per ogni x0 fissato posso scrivere un generico t come un generico u sommato a x0 (qualunque).
A me sembra solo dire: per ogni t, fissato x0, posso scrivere t come x0+u per un certo u (ma non è detto che tutti gli u vadano bene, io ho dimostrato che ne esistono alcuni (almeno uno)), allo stesso modo: per ogni u, fissato x0, posso scrivere x0+u=t (ma non è detto che tutti i t vadano bene, o meglio che x0+u siano tutte le soluzioni).

Spero la mia odierna emicrania mi abbia comunque permesso di esser minimamente chiaro.

---

Note

1. e se non ci riuscissi me ne scuso e ti prego di dirmi ove non sono riuscito nell'intento, così da poter migliorare l'esposizione ↑

[Martino]

Per ogni $t$ esiste $u$ tale che $t=x_0+u$, fin qui ci siamo. Ora tu dici "non è detto che tutti gli $u$ vadano bene", questo è corretto ma è un po' come dire che non è detto che tutti i cuscini siano gialli (ovviamente non lo sono, ce ne saranno alcuni gialli certo, ma non tutti), è un po' strano immaginare che tutti gli $u$ vadano bene, ed è anche irrilevante: perché tutti gli $u$ dovrebbero andare bene? Ti dirò di più: dato $t$, esiste un unico $u$ tale che $t=x_0+u$, e chi è questo $u$? Ovviamente è $u=t-x_0$. Cioè tu dici "non è detto che tutti gli $u$ vadano bene", la realtà è che quasi nessun $u$ va bene, per la precisione solamente un $u$ va bene. Capisci? Cioè qui arrivo alla conclusione che tu sia convinto che per qualche motivo tutti gli $u$ debbano andare bene, ma è una convinzione tua senza fondamento. Discorso analogo vale per l'altro tuo dubbio, che è esattamente uguale a questo, solo che con $u$ e $t$ scambiati.

Cioè se facciamo un'analogia, stai dicendo una cosa del tipo "non è detto che tutte le persone siano uguali al padre di mio figlio". Certo, sei tu il padre di tuo figlio. Quindi esiste un'unica persona che è uguale al padre di tuo figlio e sei tu stesso. Non capisco perché questo debba creare contraddizioni o confusioni. Cioè tu dici "non tutti", la realtà è "quasi nessuno".

[panausen]

Più che altro lo deduco dal testo del teorema:

"per ogni x0 fissato posso scrivere un generico t come un generico u sommato a x0"

In sostanza dimostro:
fissato x0 (qualunque)
- =>) "posso scrivere un generico t come un qualche u sommato a x0"
- <=) "posso scrivere un generico u come un qualche t sottratto a x0"

I due versi della dimostrazione mi permettono di concludere il quote, mi pareva di capire. Non è così?

[panausen]

Quello che cioè voglio dire è che ovviamente assunta "=>" come riporti giustamente mi dice che per ogni t ho la possibilità di scrivere t come un qualche u sommato a x0 (MA non tutti gli u). Tutto ok, giustissimo.
"<=" mi dice che posso scrivere $t=u+x_0$ questa volta con u generico e un qualche t.

Io mi insabbio sul fatto che mettendo assieme le due cose cioè => + <= posso concludere che ogni t si può scrivere come un ogni u sommato a x0.
A me sembra sempre di vedere che per via di => ci sia sempre un qualche "u" scoperto e per per via di <= si sia sempre un qualche t scoperto. E' questo passo che non riesco a fare.

[Martino]

A me sembra che dai dei significati particolari alle parole "generico", "particolare", "qualsiasi" e probabilmente sono queste parole a crearti confusione.

Guarda, prova a fare così: prendiamo gli insiemi $A={0,1,2}$, $B={1,2,3}$.

Dimostra che $B = {u+1 : u in A}$. Per farlo, osserva che per ogni $t in B$ esiste $u in A$ tale che $t=u+1$ e poi osserva che per ogni $u in A$ si ha $u+1 in B$.

E' esattamente questo che stai facendo con i sistemi lineari, solo che con insiemi più grandi.

Prova a pensare a questo esempio semplice, vedi se ti chiarisce i dubbi.

[panausen]

Mi sa che ci hai visto giusto, un problema risiede sicuramente in questo, però dopo averci ragionato (sul tuo esempio) mi verrebbe da dire questo:
Io ho in realtà dimostrato che, per qualunque fissato "x0": per ogni "u" trovo un "t" e per ogni "t" trovo un "u", ma non che ci siano abbastanza "x0" da poter connettere ogni "t" con ogni "u"

Mentre il teorema:

Una generica soluzione (t) di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare (x0) del sistema lineare compatibile ad una generica soluzione (u) del sistema lineare omogeneo associato.

Sembra proprio dire che da ogni t posso "raggiungere" qualunque "u" cambiando tutti gli x0. Questo è in realtà vero, però la dimostrazione da noi vista non sembra garantirmi questo, mi dice solo che scegliendo vari x0 ogni u è connesso a un t e viceversa (detto male)


Poi c'è anche un secondo punto che mi lascia insoddisfatto: io da una parte dimostro che ogni t è collegato ad un u tramite un x0 (fisso), d'altra parte questo non mi assicura che ogni u sia collegato a t, ci potrebbero essere degli u scoperti.
Ad esempio prendo 4 pallini che sono i t e li collego con 4 linee (gli x0) con altrettanti 4 pallini che sono u, ma u potrebbero essere 5 pallini, appunto non tutti gli u sono connessi a un t.
Dimostro poi la parte opposta della dimostrazione, ossia che ogni u e collegato a un qualche t tramite x0 (fisso), a sua volta questo mi porterebbe a concludere che non tutti i t hanno una freccia che arriva da u.
il fatto è che le due parti nella mia mente rimangono sconnesse, cioè non riesco a vedere perché l'unione di queste due dimostrazioni mi permetta di concludere che (come dovrebbe essere) tutti i t e tutti gli u sono connessi da almeno una freccia tra loro. Quindi non che tutti abbiano una freccia che punta a tutti gli altri, ma che tutti abbiano almeno una freccia (poi in particolare sarebbe una)

Mi piacerebbe chiederti cosa ne pensi di questi due punti su cui sto riflettendo e su come vederli per risolverli.

[Martino]

Purtroppo non riesco a seguirti perché vedo solo un'enorme confusione.

Quello che posso fare è proporti situazioni più semplici. Per esempio, mettiti nel piano cartesiano e prendi $E$ uguale alla retta $y=x$, cioè $E = {(x,x) : x in RR}$. Ora prendi $T$ uguale alla retta $y=x+1$, cioè $T={(x,x+1) : x in RR}$. L'analogia è che gli elementi di $E$ sono le soluzioni dell'equazione omogenea $y=x$ e gli elementi di $T$ sono le soluzioni dell'equazione affine $y=x+1$ (la cui omogenea associata è proprio $y=x$ appunto).

Prendiamo una soluzione particolare di $y=x+1$, per esempio $(x_0,y_0) = (0,1)$ (ma potevamo prendere pure $(1,2)$ oppure $(4,5)$ e così via). Questo $(0,1)$ è l'elemento che sopra chiamavamo $x_0$.

Non dovresti aver nessun problema a dimostrare che $T = {(a,b)+(x_0,y_0) : (a,b) in E}$ (che è proprio quello di cui parlavamo nel caso generale).

Ora, prova a disegnare gli insiemi $T$ ed $E$ nel piano cartesiano. Sono due rette parallele e formano un angolo di 45 gradi con l'asse $x$. La retta $E$ passa per l'origine, la retta $T$ non passa per l'origine. La retta $T$ è esattamente la retta $E$ traslata in su di una unità. Questa traslazione in su di $1$ corrisponde proprio a prendere un generico punto della retta $E$ e aggiungerci la "soluzione particolare" $(x_0,y_0) = (0,1)$.

Ragiona un po' su questo e vedi se ti chiarisce i dubbi.

[panausen]

Esattamente, l'idea grafica della retta passante per l'origine e quella traslata è quella a cui stavo pensando per cercare di risolvermi i problemi.

Provo a sfruttarla per vedere se riesco a far capire il mio problema sul primo dubbio, ossia quello associato al testo del teorema:

Una generica soluzione (t) di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare (x0) del sistema lineare compatibile ad una generica soluzione (u) del sistema lineare omogeneo associato.

Quello che volevo dire nel testo precedente, e provo a riformulare meglio è l'idea seguente:
Io dimostro che fissato $(x_0,y_0)=(0,1)$ posso trovare tutti gli elementi di $T$ assumendo distinti elementi di $E$, e in particolare anche selezionando ogni elemento di $E$ sommando $(0,1)$ trovo uno alla volta tutti gli elementi di T.
Variando $(x_0,y_0)$ di ripete un discorso analogo. Questo è quanto dimostrato e mi sembra chiaro.

Però questo non mi sembra essere quanto afferma il testo (quindi se vogliamo il mio problema è comprendere il testo alla luce di quanto dimostrato). Infatti io lo interpreto così quanto nel quote: [intendendo generica come qualunque/ogni] Ogni elemento di T (cioè t nel testo) si ottiene aggiungendo a una soluzione particolare qualsiasi (x0,y0) (cioè x0), una generica E.
Riassumendo: ogni elemento di T è raggiunto da ogni elemento di E tramite un qualche $x_0=(0,1)$ che posso far variare (e viceversa ogni elemento di E è raggiunto da un T tramite $(x_0,y_0)$). Quindi quanto dimostrato l'ho capito secondo me, ma non lo riesco legare a questo testo che mi sembra dire quanto ho scritto ora.

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Poi c'era un secondo problema e questo si rifà invece a qualcosa di diverso, cioè sulla dimostrazione in sé. Siccome mi hai detto che sono stato incapace a spiegarmi bene e comprendo la mia colpa ci riprovo. Il fatto è che fatico a rendere a parole quanto mi turba.

Abbiamo appunto detto che fissato $x_0$ noi mostriamo che $T$ è uguale a $E={x0+u : u∈S}$.
Per mostrare questo svolgo due dimostrazioni:
tenendo $x_0$ fisso
-a- dato ogni elemento di $T$ trovo un $u in E$ tale che $t=x_0+u$
-b- ma anche che dato ogni $u in E$ trovo un $t in T$ t.c. $t=x_0+u$.

Unire queste due vorrebbe dire che:
-a- variando al continuo elementi in $T$ (siano i 4 pallini neri nell'immagine tutti gli elementi di T -non considerare ora quello a matita-) tramite la sottrazione con $(x_0,y_0)$ trovo un elemento di $E$ (i 4 pallini neri di E), ma questo non mi assicura che tutta la retta $E$ sia coperta in questa variazione di elementi in $E$ : c'è infatti un pallino blu inizialmente non coperto.
-b- A questo punto dimostro che variando al continuo ogni elemento in $E$ (cioè i 5 pallini composti da 4 neri e uno blu), sempre tramite $(x_0,y_0)$ trovo sempre elementi in $T$, benissimo, ma questo non vuol dire che variando elementi in $E$ trovo tutti gli elementi di $T$, ci potrebbe essere un pallino a matita in $T$ cui non arriva alcuna linea.
Ma questo porta a un assurdo poiché sembra che ora ci sia un pallino in più su $T$.
E' proprio questa parte a lasciarmi perplesso nell'unire le due parti della dimostrazione.



Quello che invece vorrei, unendo le due parti della dimostrazione, è che al contempo mi garantisca che elementi generici/tutti di $T$ ed $E$ siano uniti/coperti dalla somma con $(x_0,y_0)$ particolare (passami il termine in modo contemporaneo).
Purtroppo fatico a formalizzare bene questa idea, spero davvero sia più chiara .


Se riesco a capire ste due ultime cose ho finalmente annullato ogni dubbio grazie al tuo aiuto. Non so davvero come ringraziarti

[Martino]

Scusa non ti seguo (ma zero proprio), tornando all'esempio di $y=x+1$ e $x_0=(0,1)$, quali sarebbero gli elementi di $T$ (o di $E$) scoperti?

[panausen]

Ok, allora:
noi abbiamo l'insieme $T={(x,x+1) : x in RR}$ (che nel mio disegno erano i 4 pallini neri della retta y=x+1), è un caso finito perché non posso disegnarne infiniti ma era per esprimere questo concetto.
Ogni elemento di T tramite $(0,1)$, precisamente sottraendolo, lo "collego" a un elemento di $E = {(x,x) : x in RR}$. In questo modo dimostro che ogni elemento di T avrà un corrispettivo in E, ma ci potrebbero essere elementi di E che non hanno corrispettivi in T (il mio pallino blu in E).
A questo punto dimostro la seconda parte: ogni elemento di $E = {(x,x) : x in RR}$ sommato a $(0,1)$ ha un corrispettivo in $T={(x,x+1) : x in RR}$, ma di nuovo potrebbero esserci elementi in T che non vengono raggiunti dalla somma di un elemento di $E$ + $(0,1)$ (immagino quindi l'esistenza un nuovo pallino su T -a matita- che prima non c'era). E questo mi sembra un po' un assurdo perché io invece mi aspetto che tutti gli elementi di T abbiano un loro legame (tramite (0,1)) con ogni elemento di E, mentre mi sembra in tal modo di individuare un nuovo elemento di T che non è coperto.

Quello che mi aspetto invece dalla dimostrazione è che mostrando questa doppio legame tra T ed E io abbia che ogni elemento di E è legato a un T e viceversa.