Quadrati in un campo finito

[Martino]

No è sbagliata perché qui

per quanto detto prima $b=a^k$.

devi prendere due elementi qualsiasi $a,b$ e stai supponendo senza motivo che $b$ sia una potenza di $a$.

È molto più semplice: sai che ogni elemento è una potenza di un certo elemento $t$. Prendi due non quadrati $t^n$, $t^m$. Allora $n,m$ sono dispari, quindi $n+m$ è pari e quindi $t^n t^m = t^(n+m)$ è un quadrato.

[andreadel1988]

No è sbagliata perché qui

per quanto detto prima $b=a^k$.

devi prendere due elementi qualsiasi $a,b$ e stai supponendo senza motivo che $b$ sia una potenza di $a$.

Ma in teoria se siamo in un campo finito le potenze di $a$ (non quadrato) non generano tutti gli elementi del campo?. Tipo se prendo $ZZ_(/5)$ e prendo $2$ come elemento non quadrato so che $2^2=4$ $2^3=3$ e $2^4=1$ e come hai visto con le potenze di $2$ ho generato tutti gli elementi diversi da $0$. Stessa cosa posso fare con $3$.

[Martino]

Andrea, pensaci con calma. Esiste un elemento $a$ tale che ogni elemento diverso da zero è una potenza di $a$. Ora prendi due elementi qualsiasi (non nulli) $x,y$. Supponi $x,y$ non quadrati. Devi mostrare che $xy$ è un quadrato. Per fare questo non puoi supporre che $x=a$, e non puoi supporre che $y$ sia una potenza di $x$. L'unica cosa che sai è che $x,y$ sono entrambi potenze di $a$.

[andreadel1988]

Per fare questo non puoi supporre che $x=a$, e non puoi supporre che $y$ sia una potenza di $x$. L'unica cosa che sai è che $x,y$ sono entrambi potenze di $a$.

Mi sa che ogni volta non ci capiamo, io intedevo dire se preso un non quadrato qualunque non si può dire che esso genera tutto il campo finito? Se non fosse così in teoria dovrebbe esserci un controesempio di un campo finito con un non quadrato tale che le sue potenze non siano tutti gli elementi del campo

[Martino]

L'elemento $-1$ non è un quadrato in $F = ZZ//7ZZ$ ma ha ordine moltiplicativo $2$ (infatti $(-1)^2=1$) quindi non può generare $F^(ast)$ (che ha ordine $6$). E ci sono infiniti campi finiti in cui $-1$ non è un quadrato.

Comunque sì ci capiamo, se era questo il tuo argomento allora dovevi accorgerti che era sbagliato a causa dell'esistenza di facili controesempi.

[andreadel1988]

Ah ok grazie