Esiste unico (dimostrazione)

[Martino]

Sì G.D., ma (almeno per quanto mi riguarda) la discussione riguardava l'esistenza e unicità della soluzione. Se non si ha l'unicità si devono ovviamente fare piccole modifiche. Tu stai parlando di un caso in cui si ha l'esistenza ma non l'unicità. Cioè stai dimostrando che "$X$ soddisfa $P$ se e solo se $X in S$" dove $P$ è una certa proprietà e $S$ è un certo insieme.

Per esempio cerchiamo le funzioni derivabili $f:RR to RR$ tali che (*) $f'=f$ e dopo dei conti troviamo che, se vale (*), allora $f$ dev'essere necessariamente del tipo $f(x)=c*e^x$ con $c in RR$. Ora mostriamo (facilmente) che per funzioni di questo tipo vale $f'=f$. Questo mostra che le soluzioni di (*) sono tutte e sole del tipo $f(x)=c*e^x$. Cioè l'insieme delle soluzioni è l'insieme $S$ delle funzioni del tipo $c*e^x$.

Per riformulare/variare questo in un caso di esistenza e unicità, posso dire "trovare tutte le funzioni derivabili $f:RR to RR$ tali che $f'=f$ e $f(0)=1$". Procedendo come sopra si ottiene che necessariamente $f(x)=e^x$ e risostituendo abbiamo che $f'=f$ e $f(0)=1$ per questa funzione, quindi in questo caso abbiamo esistenza e unicità.

Tutto il discorso del thread riguarda esistenza+unicità.

[ganxi]

Questo mostra che le soluzioni di (*) sono tutte e sole del tipo $f(x)=c*e^x$. Cioè l'insieme delle soluzioni è l'insieme $S$ delle funzioni del tipo $c*e^x$.

Solo per capire, perchè non ho capito se lo usavi come non esempio, ma questa è comunque una esistenza e unicità? Nel senso che esistono soluzioni assumendo quelle del tipo $c*e^x$, ma sono anche unicamente quelle di quell'insieme, cioè del tipo $c*e^x$.

Non ho quindi capito l'esempio se era pro o contro.

[Martino]

Ma sì, è un discorso simile, ma non la stessa cosa.

Risolviamo $x^2=1$. Qui non hai l'unicità perché (argomentando) trovi $x=1$ e $x=-1$. Poi risostituendo trovi che $1$ e $-1$ sono effettivamente soluzioni.

Se preferisci, invece di esistenza e unicità, pensala in termini di sufficienza e necessità.

$x^2=1$ se e solo se $x in {-1,1}$.

L'implicazione $=>$ è la necessità, l'implicazione $Leftarrow$ è la sufficienza.

Basta che ci capiamo. Per me quando si parla di esistenza e unicità si sta dicendo che la soluzione esiste ed è unica. Quando la soluzione esiste ma non è unica (come nel caso di $f'=f$) non si ha l'unicità.

Poi tu puoi dare alla parola "unicità" un altro significato ma allora stiamo parlando di italiano e non di matematica.

[G.D.]

La fbf che definisce il quantificatore di unicità è

\[
\exists x ( \mathscr{P}(x) \land \forall y (\mathscr{P}(y) \implies y = x))
\]

Non potete derivare l'unicità dal fatto che supponendo \(\mathscr{P}(x)\) per qualche \(x\), riuaciate a trovare una specificazione per \(x\). Questo prova solo l'esistenza, a patto ovviamente che il controllo sulla specifiazione trovata sia positivo. Il problema è che avete in testa tutti esempi dove la costruzione della specificazione per \(x\) ha in sé l'unicità, però in un discorso generale, che è quello che stavate affrontando negli ultimi messaggi, non sapete se potete procedere in tale maniera oppure no.

[Martino]

Quello che sto dicendo è la cosa seguente, ed è molto semplice: supponiamo di voler dimostrare che $X$ ha la proprietà $P$ se e solo se $X=F$. Se dimostro l'implicazione $=>$ allora so che, se $X$ ha la proprietà $P$, allora $X=F$. Ora supponiamo di mostrare che esiste $X$ con la proprietà $P$. Siccome vale $=>$, allora questo $X$ deve necessariamente essere uguale a $F$.

Non mi pare sbagliato, cosa dici?

Riguardo a quanto dici, G.D., non ti seguo, dovresti fare un esempio specifico così ci capiamo.

[G.D.]

Tenendo a mente questo schema:

Per far questo c'è ad esempio il metodo esposto (che ho visto in moltissime dimostrazioni):
1] SUPPONGO vera X e dimostro che X ha una certa forma, diciamo che posso trovare (X=F, con f forma). in pratica suppongo X vera e tramite P trovo => X=F.
2] a questo punto prendo il candidato per l'esistenza trovato: F e mostro che effttivamente soddisfa P.
Concludo che esiste unico x che soddifi P.

dimostro che esiste una e una sola funzione \(f(x)\) che verifica la condizione \(f(\alpha)+f(\beta)=f(\alpha + \beta)\).

Supponiamo che la proprietà di cui sopra sia verificata almeno da una funzione. Facciamo l'ipotesi che \(f(x)\) sia costante: \(f(x) = k\); segue dalla proprietà assunta come vera che \(k + k = k\) da cui \(k = 0\). Ho trovato la mia \(F\).
D'altronde se sostituisco la funzione costante all'interno della mia proprietà, ottengo che è verificata.
Quindi esiste una e una sola funzione che verifica la proprietà, vale a dire la funzione costantemente nulla.

Ovviamente questa prova è sbagliata.
Però ho usato lo schema che ho quotato.

[Martino]

Ma non è questo che stavamo dicendo. Ti invito a rileggere con attenzione.

Stavamo dicendo che nella parte (1) si prende un $X$ arbitrario che soddisfa $P$ e si mostra che $X$ deve necessariamente essere uguale a $F$. Nella parte (2) si dimostra che esiste un certo $X_0$ che soddisfa $P$. Segue allora dalla parte (1) che $X_0=F$.

Da (1)+(2) si deduce che "$X$ soddisfa $P$ se e solo se $X=F$".

[ganxi]

Ma sì, è un discorso simile, ma non la stessa cosa.

Risolviamo $x^2=1$. Qui non hai l'unicità perché (argomentando) trovi $x=1$ e $x=-1$. Poi risostituendo trovi che $1$ e $-1$ sono effettivamente soluzioni.

Se preferisci, invece di esistenza e unicità, pensala in termini di sufficienza e necessità.

$x^2=1$ se e solo se $x in {-1,1}$.

L'implicazione $=>$ è la necessità, l'implicazione $Leftarrow$ è la sufficienza.

Basta che ci capiamo. Per me quando si parla di esistenza e unicità si sta dicendo che la soluzione esiste ed è unica. Quando la soluzione esiste ma non è unica (come nel caso di $f'=f$) non si ha l'unicità.

Poi tu puoi dare alla parola "unicità" un altro significato ma allora stiamo parlando di italiano e non di matematica.

Certo credo di aver colto ora
uno è: X verifica P se e solo se $X in S$, l'altro X verifica P se e solo se $X = F$, ho usato la tua notazione di cui sopra. Mi è chiaro: io vedevo la similitudine nel modo di dimostrare, però la differenza è che uno è proprio unico $X = F$ elemento, l'altro ci dà una appartenenza a un insieme (che io ritenevo "unico" come insieme, solo terminologia come hai segnalato).
Questo mi par ora di averlo ora ben chiarito con te.

Poi...
Qui chiedo un aiuto sia a Martino che G.D (perché mi è sorto il dubbio pensando al suo intervento):
Quando dimostro => ad esempio se X è un cane => X è un mammifero, questo garantisce che nell'insieme di "arrivo" mammifero ci siano i cani ma non garantisce che tutti i mammiferi siano cani.
Astraendo se dimostro che elementi di A => sono elementi di B, non ci dice che B contenga altri elementi che non sono in A.
Nel nostro caso invece quando dimostro "=>" ossia questo "verso" dico ad esempio che se x è soluzione di $x^2=1$ esse saranno $x=1$ o $x=-1$ dell'insieme soluzioni dell'equazione. In sostanza dico $B={1,-1}$ essere tutto il mio insieme di arrivo, e questo presuppone che non possono esistere altri elementi in B che non siano $1$ e $-1$ (è un po' diverso dal dire se cane è mammifero, ma i mammiferi possono essere un insieme più grande dei soli cani), quindi di solito per dimostrare ⊇ (che corrisponde a "<=" ) dovrei prendere qualunque oggetto del secondo insieme (tutti i mammiferi nel nostro esempio) e mostrare l'implicazione inversa "<=", invece qui assumo solo $x=1$ e $x=-1$ (ossia riprendo solo i cani) li sostituisco e mostro che sono soluzioni e concludo dicendo vale "x soluzione se e solo se $x=1$ o $x=-1$", in effetti questa sfumatura è un po' strana e devo capire bene perché in tal caso mi basti solo verificare per x=1 e x=-1 (ossia quale è la differenza rispetto al caso col mammifero? li non era garantito che tutti gli elementi di B fossero quelli che trovavo tramite =>, mentre in $x^2=1$ si), per questo mi chiedo: come faccio a sapere a priori che l'insieme di arrivo B non possa contenere altri elementi oltre questi due? è come se sapessi già che {soluzioni di $x^2=1$} è composto dalle sole -1 e 1 e infatti vado a risostituire questi due singoli oggetti cioè tutti gli elementi del secondo insieme B, mentre nel caso dei cani e mammiferi=B no.

Forse sbaglio ma mi sembrava dicesse questo G.D. o se non lo dice è comunque un punto su cui devo riflettere.

Per il resto seguo il vostro scambio con interesse perché temo proprio di non poter aggiungere nulla di utile, ma da voi posso solo che imaprare ed è già una foruna potervi leggere.

[ganxi]

Forse mi ero spiegato male ma prendiamo questa parte citata e vorrei integrare quanto ho scritto proprio qui sopra dopo "Poi..."

L'altro metodo che immaginavo era il seguente.
1] esattamente come sopra.
2] immagino di poter dimostrare che una certa X esiste, non più partendo dal candidato F ma per una generica altra via.

D'altra parte leggendo il tuo post mi è venuta una idea. Se io dimostrassi anche per altra via che una $X$ esiste come "verificante" la proprietà P, cioè riesco a dire una X esiste! Ora, so però che la $X$ sarebbe unicamente del tipo $X=F$ dal punto (1), quindi di fatto quando dimostro che $X$ esiste al punto (2) equivarrebbe al fatto di star dimostrando (in modo implicito) che $X=F$ esiste (che è esattamente quello che facevo nel punto (2) della prima dimostrazione).
[Infatti so già che ha forma per forza di $F$, e a questo punto potrei quindi dire assumo $X=F$ e ho dimostrato che esiste come soluzione della proprietà P.]
In pratica mi pare che anche procedendo così ho che esiste $X$ che soddisfi $P <=> X=F$.

(1) io ipotizzo esista un aniamle x che è cane e dimostro che: x è cane => x è mammifero
(2) come dicevamo posso dimostrare l'animale x cane esiste, per altra via senza assumere i mammiferi. A questo punto per quanto detto dovrei avere se x è cane è "unicamente" del tipo un mammifero, dimostro poi ché x esiste e quindi per quanto detto dovrei concludere che "x cane <=> x mammifero". Evidentemente errato.

In realtà questo è dovuto al fatto che dimostro x in A=>x in B ma ho elementi di B che non stanno in A. (cioè non ho altri elementi in B all'infuori di quelli)

Questa dimostrazione invece funziona se riesco a sapere a priori che B è tutto l'insieme che trovo partendo da elementi di A
es:
(1) io ipotizzo esista un aniamle x che è cane e dimostro che: x è cane => x abbaia
(2) è evidente che ora se dimostro che x esiste esso è unicamente del tipo animale "x che abbaia"
"x cane <=> x abbaia"

Quindi questo tipo di dimostrazione funziona perché so che tutti gli elementi di B sono unicamente raggiunti da elementi di A.

Quindi la domanda risulta essere. Come mai se dimostro x soluzione di $x^2=1$ => $x=1$ o $x=-1$ mi garanstice che l'insieme B è ristretto ad avere solo quegli elementi? Così se dimostro per altra via (2) che per $x^2=1$ ESISTE soluzione so che lo è se e solo se $x=1$ o $x=-1$.

Sono convinto sia questo che dice G.D.

[Martino]

(1) io ipotizzo esista un animale x che è cane e dimostro che: x è cane => x è mammifero

No non è questo che fai. Nel punto (1) dimostri che "ogni cane è mammifero". Cioè che per ogni x, "x cane" implica "x mammifero".