da vl4d » 21/09/2006, 09:10
we, in questi giorni sono stato impegnato con un esame... ma adesso sono LLLLibero!
Come al solito, probabilmente e' piu' semplice ma:
Mini-Lemma, sia $S$ un insieme non vuoto di un gruppo G. S e' sottogruppo(indico con $S <= G$) di G se e solo se $forall x,y in S$ $xy^-1 in S$
Ora, se $HK$ e' sottogruppo abbiamo subito che $a in HK -> a^-1 in HK$
viceversa:
$HK$ diverso dal vuoto, l'associativita' e' garantita perche' $H, K$ sottogruppi
Se considero un generico $kh$, il fatto che $h^-1k^-1 in HK$ implica $kh in HK$, ovvero $kh = h_{k}k_{h}$ per qualche $h_{k},k_{h}$. Allora prendo $h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^-1 = h_{1}k_{1}k_{2}^-1h_{2}^-1 = h_{1}k_{3}h_{2}$. Dato che $k_{3}h_{2} in HK$ ho $k_{3}h_{2} = h_{k_{3}}k_{h_{2}}$, da cui $h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^-1 = h_{1}h_{k_{3}}k_{h_{2}} in HK$, quindi HK e' sottogruppo per il Mini-Lemma.
sto provando a mostrare che HK e' sottogruppo se e solo se HK = KH, dovrebbe essere fattibile no?
Go to the roots, of these calculations! Group the operations.
Classify them according to their complexities rather than their appearances!
This, I believe, is the mission of future mathematicians. This is the road on which I am embarking in this work.
Evariste Galois