esercizi di algebra

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Sì, l'idea è quella, ma io ho capito quello che vuoi dire perché già conosco la dimostrazione, non perché sia chiaro quello che hai scritto!

Avresti dovuto scrivere: consideriamo gli insiemi della forma ${g,g^{-1}}$, con $g\ne 1$. Essi contengono ciascuno esattamente due elementi, poiché per ipotesi di assurdo $g\ne g^{-1}$. Inoltre gli insiemi in questione sono fra loro uguali o disgiunti, per l'unicità dell'elemento inverso. Dunque partizionano $G-{1}$ a coppie, e dunque $G-{1}$ ha un numero di elementi pari: assurdo.

Comunque, bene vl4d, spero che gli esercizi ti siano stati utili!

[vl4d]

si gli esercizi, specie questo, erano veramente ben fatti. adesso sto cercando di installare GAP su OSX perche' 'sti gruppi mi hanno preso lo conosci gia'? http://www-gap.mcs.st-and.ac.uk/

penso sia utile anche a questo: tu pensi a una particolare proprieta' dei gruppi, GAP ti dice se ci sono controesempi immediati alla tua "mini-congettura", se non ci sono hai risparmiato tempo e puoi andare avanti a dimostrare poi dovresti poterci fare tantissime altre cose...

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si gli esercizi, specie questo, erano veramente ben fatti. adesso sto cercando di installare GAP su OSX perche' 'sti gruppi mi hanno preso lo conosci gia'? http://www-gap.mcs.st-and.ac.uk/

Interessante, non lo conoscevo! Buona dritta! Proverò a vedere come funziona Anch'io mi diverto molto con i gruppi. Mi piacciono per la loro eleganza astratta, e per il fatto che da una semplice definizione nasce una struttura matematica così ricca di proprietà.

[vl4d]

ok, ho creato anch'io un semplice esercizietto (spero solo che sia giusto ) :

Sia $G$ un gruppo in cui ogni elemento diverso dall'identita' ha ordine $r!=1$, allora G e' un ciclico di ordine r, ed r e' primo

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Sia $G$ un gruppo in cui ogni elemento diverso dall'identita' ha ordine $r!=1$, allora G e' un ciclico di ordine r, ed r e' primo

Eh eh, direi che non è vero. Prendiamo $ZZ_p$, il gruppo degli interi modulo $p$ dotato di addizione, con $p$ primo. Consideriamo il gruppo prodotto $G=ZZ_p xx ZZ_p$. Chiaramente ogni elemento di $G$ è di ordine $p$, ma $G$ ha ordine $p^2$.

[vl4d]

infatti mi sono accorto che ho commesso un errore. Pero' e' cmq vero che $G$ e' un p-gruppo (cioe' ha ordine $p^n$). Inoltre ho trovato in rete che il teorema vale se G ha un automorfismo transitivo.... qual'e' la differenza tra un automorfismo e un automorfismo transitivo?

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Non lo so, non conosco nemmeno la definizione di automorfismo transitivo. Ho cercato in rete, ma non ho trovato nulla. Se magari qualcuno trova la definizione e la posta, si può tentare di dimostrare il teorema...

[goldengirl]

Sia $G$ un gruppo in cui ogni elemento diverso dall'identita' ha ordine $r!=1$, allora G e' un ciclico di ordine r, ed r e' primo

io direi quanto segue:

se $G$ è un gruppo di ordine primo, dal teorema di Lagrange segue che $G$ è privo di sottogruppi non banali,e quindi
$G=(:x:), AA x in G \\ {1}.$
Pertanto ogni gruppo di ordine primo è ciclico.

Infatti:
$ {1}!=(:x:) <=G, 1<|(:x:)|$ divide $p=|G| =>|(:x:)|=p => G=(:x:)$

[vl4d]

se $G$ è un gruppo di ordine primo

questo e' quello che dovevi dimostrare, e come se non bastasse non puoi farlo con le mie ipotesi perche' mi sono accorto che il teoremino non e' corretto.

Pero' puoi dimostrare che l'ordine di G e' una potenza di un primo. Ma da questo non segue necessariamente che G e' ciclico...

[goldengirl]

se $G$ è un gruppo di ordine primo

questo e' quello che dovevi dimostrare, e come se non bastasse non puoi farlo con le mie ipotesi perche' mi sono accorto che il teoremino non e' corretto.[\quote]

NO!
non è una dimostrazione ma solo conseguenza di definizione di gruppo ciclico sfruttando il teorema di Lagrange.....
anche xk come tu stesso dici il tuo teorema non è corretto...