Calcolo Combinatorio

[Fr4nc1x]

Salve,
volevo proporvi un esercizio di calcolo combinatorio.
Quanti sono i numeri naturali di sette cifre aventi le prime due cifre in forma decrescente e le ultime tre cifre pari? (Ad esempio 7590842, 6218004).

Io so solo che per le due cifre centrali posso utilizzare le disposizioni con ripetizione perchè l'ordine conta e se due cifre sono uguali non ci fa niente.
Poi so che la prima cifra tra le due decrescenti non può mai essere zero.
Per il resto potete darmi una mano?

[superpippone]

Per le prime 2 posizioni hai C10,2 ovvero $45$.
Per la terza e quarta posizione hai $10^2=100$.
Per le ultime 3 posizioni $5^3=125$
Totale $45*100*125=562.500$

[Fr4nc1x]

Ho capito tutto! Perfetto,grazie!
Un'ultima domanda, ho notato che il mio professore a volte per risolvere questi esercizi vuole che costruiamo un sistema e calcoliamo la cardinalità dell'insieme delle soluzioni del sistema. Ma è davvero possibile fare una cosa del genere per questo tipo di esercizi?

[superpippone]

Mi dispiace.
Ma non so cosa sia un sistema.
E ancora meno cosa sia la "cardinalità di un insieme".......

[Fr4nc1x]

Tranquillo. Un'ultima perplessità.
Se all'esercizio che ho proposto mettessimo "Quanti sono i numeri naturali dispari (e poi il resto del testo uguale a prima) come dovremmo procedere? Dividendo per due il valore trovato?

[superpippone]

Certo che di numeri naturali dispari, con le ultime tre cifre pari, non credo ce ne siano molti.....

[Fr4nc1x]

Ahahahaa hai ragione. Riscrivo il testo dell'esercizio corretto.
Quanti sono i numeri naturali dispari di 8 cifre aventi le prime due cifre uguali e le ultime tre cifre in forma crescente?
Dobbiamo trovare tutte quelle terne crescenti che hanno come ultima cifra 3,5,7,9. Non può avere 1 sennò non potrebbe essere una terna decrescente, giusto?

[superpippone]

Mi sa che ti stai ingarbugliando...
Per le prime due posizioni abbiamo $9$ possibilità.
Per le posizioni dalla terza alla quinta $10^3=1.000$ possibilità.
Per le ultime tre posizioni $70$ possibilità.
Totale $9*1.000*70=630.000$.
Ma mi sembra di aver risposto ad un quesito molto simile ieri.....

[Fr4nc1x]

Giusto, grazie mille! Posso proporti un altro esercizio?
Quanti sono i numeri di 6 cifre che contengono 2 volte esatte la cifra 1, 2 volte esatte la cifra 2 e non contengono la cifra 0?
Io ho provato a fare le disposizioni con ripetizione per quanto riguarda le due cifre libere da vincoli e viene 49.
Poi dovrei permutare questi numeri ( i 4 numeri fissi 1,1,2,2 e i 49 numeri liberi da vincoli) nei sei posti disponibili, giusto?

[superpippone]

Io scinderei le 49 coppie libere in due tipologie: 42 in cui le due cifre sono diverse, e 7 in cui le 2 cifre sono uguali.
Dopodichè propongo questa soluzione, sperando che sia esatta:

$(6!)/(2!*2!)*42+(6!)/(2!*2!*2!)*7=180*42+90*7=7.560+630=8.190$