Algebra

[Giravite]

Vi propongo due esercizi.
Per ogni a,b,c appartenenti a Z vale:
m.c.d (a,b)=m.c.d(a,b+ac)
m.c.d(ca,cb)=|c|m.c.d(a,b).

Ancora un grazie per l'aiuto BAY bay

[jack]

sia m.c.d(a,b)=k, cioè esistono $p,q inZZ: m.c.d(p,q)=1, kp=a, kq=b$ adesso, m.c.d.(a,b+ac) vale
m.c.d.(kp,kq+kpc) da cui raccogliendo si ha
m.c.d(kp,k(q+pc))=k si noti che potrebbe essere anche un numero maggiore di k, poichè i numeri p e (pc+q) potrebbero avere qualche fattore comune..
ma basta dimostrare che, dati p e q coprimi fra loro, è sempre vero che anche i numeri p e pc+q sono coprimi per qualsiasi c e il gioco è fatto...
sia per assurdo mcd(p,pc+q)=k, per un k diverso da 1, e abbiamo per ipotesi mcd(p,q)=1; dalla prima espressione si ha

p=nk per qualche n e
pc+q=mk per qualche m, ora esplicitiamo p: $p=(mk-q)/c$ da cui si ottiene l' uguaglianza:

$nk=(mk-q)/c$ cioè $q=(m-nc)k$ ma questo va contro l' ipotesi che mcd(p,q)=1, poichè avremmo $mcd(p,q)>=k$ con k diverso da 1; poichè questo è assurdo, segue la tesi...

e così il primo es dovrebbe essere a posto...

ciao

[jack]

per il secondo penso che sia più semplice la faccenda:
se in generale a<0 e b<0, mcd(a,b)=c ove però c>0 (ovviamente anche -c è un divisore, ma c>-c per ogni intero (tranne zero, ma è un po' un caso a parte)), per cui mcd (ca,cb)=c*[qualche altro fattore che hanno in comune a e b]=c*mcd(a,b) se c>0, mentre se c<0 si ha ovviamente mcd(ca,cb)=-c*mcd(a,b) il che equivale a scrivere
mcd(ca,cb)=|c|mcd(a,b)...

ciao

[fields]

m.c.d (a,b)=m.c.d(a,b+ac)

d | a e d | b se e solo se d | a e d | b+ac. Dunque m.c.d (a,b)=m.c.d(a,b+ac).