Tre esercizi dell'Herstein che non riesco a fare.

[algibro]

Riesumo questa discussione in quanto sono alle prese con il problema 2) e sto provando a darne una dimostrazione.

Abbiamo un gruppo $G$ in cui l'intersezione di tutti i sottogruppi diversi da $(e)$ è un sottogruppo diverso da $(e)$. Dimostrare che ogni elemento di $G$ ha ordine finito.

Se $G$ è un gruppo avente ordine finito banalmente abbiamo che tutti gli elementi di $G$ hanno ordine finito. Inoltre, sia $F$ l'insieme intersezione di tutti i sottogruppi di $G$. $F$ è ovviamente un gruppo ed è di ordine finito, inoltre $F$ non ammette altri sottogruppi non banali, altrimenti quest'ultimi sarebbero l'intersezione in oggetto. Quindi l'intersezione $F$ è un gruppo ciclico. (non viene chiesto, ma lo scrivo per capire se il ragionamento è giusto.)

Se $G$ è un gruppo di ordine infinito, $G$ deve ammettere, $\forall a \in G$, infiniti sottogruppi del tipo ${e, a^i | i \in \mathbb{Z}}$. Ma se esiste un sottogruppo diverso da $(e)$ intersezione di tutti i sottogruppi non banali allora questo deve almeno essere $X={e, x^n | n \in \mathbb{Z}}$. Segue che per $a, b, c,...,x,... \in G, x^n=a^r=c^s... $. Tutti gli elementi di $G$ hanno pertanto ordine finito. [modificato un refuso, avevo scritto erroneamente infinito]

[j18eos]

... Quindi l'intersezione $ F $ è un gruppo ciclico. (non viene chiesto, ma lo scrivo per capire se il ragionamento è giusto.)...

Sì, ma è finito? Come caratterizzeresti il suo ordine? E per essere esatti, dall'intersezione devi escludere il sottogruppo banale!

Se \(\displaystyle G\) fosse un gruppo infinito, avresti ancòra che \(\displaystyle F\) è un gruppo ciclico finito?

[algibro]

Ho corretto un refuso presente nel post precedente, sorry !

... Quindi l'intersezione $ F $ è un gruppo ciclico. (non viene chiesto, ma lo scrivo per capire se il ragionamento è giusto.)...

Sì, ma è finito? Come caratterizzeresti il suo ordine? E per essere esatti, dall'intersezione devi escludere il sottogruppo banale!

Beh, $F$ è un sottogruppo di un gruppo avente ordine finito, quindi ha evidentemente ordine finito.
Però, visto che mi ci fai pensare, e ti ringrazio, questo non può che non coincidere con il sottogruppo generato dall'elemento $f^0=e$ Quindi $F:={f^0=e, f, f^2,...,f^n}$

Se \(\displaystyle G\) fosse un gruppo infinito, avresti ancòra che \(\displaystyle F\) è un gruppo ciclico finito?

No. Ad ogni modo nella "dimostrazione" che ho impostato nel secondo caso (di gruppo infinito) il sottogruppo intersezione, che ho chiamato $X$ è un sottogruppo infinito. E comunque ogni elemento di $G$ ha ordine finito. Non fila ?

[j18eos]

Ti faccio una domanda secca: un gruppo privo di sottogruppi non banali è semplice?

Sapresti classificare questi gruppi?

Suggerimento: usa una delle inversioni del teorema di Lagrange per i gruppi finiti.

[algibro]

Ti faccio una domanda secca: un gruppo privo di sottogruppi non banali è semplice?

Sapresti classificare questi gruppi?

Suggerimento: usa una delle inversioni del teorema di Lagrange per i gruppi finiti.

Sono costretto a deluderti, ma semplicemente perché non ho la nozione di "gruppo semplice" e non so cosa intendi per "classificazione di gruppi" !!!
Tuttavia, da una definizione di gruppo semplice che ho appena letto su internet risponderei "si" alla tua domanda secca, in quanto il gruppo in questione non possiede, appunto, sottogruppi normali, ma ahimè, qui mi fermo.
Per Lagrange, so semplicemente che se l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo, pertanto se il gruppo è finito e non ammette sottogruppi non banali posso dedurne che l'ordine di detto gruppo è un numero primo, sull'inversione, nada ancora...

intanto grazie, ci tornerò su più avanti.

ps.(l'esercizio viene proposto prima di introdurre detti concetti per cui ho provato in questa maniera)

[j18eos]

Esatto: un gruppo (finito) privo di sottogruppi propri non banali è semplice ed ha ordine un numero primo .

Seconda domanda: esiste un gruppo infinito privo di sottogruppi propri non banali?

[algibro]

Esatto: un gruppo (finito) privo di sottogruppi propri non banali è semplice ed ha ordine un numero primo .

Seconda domanda: esiste un gruppo infinito privo di sottogruppi propri non banali?

Direi di no.
Nel senso che, come accennavo, dato un gruppo avente ordine infinito $G={e,a,b,c...}$ nessuno ci vieta di costruire infiniti sottogruppi del tipo $(a)={a^i|i \in \mathbb{Z}}$ per ognuno degli infiniti elementi di $G$, e questi sottogruppi sono non banali.
Inoltre, anche nell'ipotesi che $G$ oltre ad essere di ordine infinito fosse anche ciclico, questo ammetterà, immagino, infiniti sottogruppi non banali del tipo $(a^{2n})={e, a^{2n} | n \in \mathbb{Z}}$

[j18eos]

Tutto corretto!

Quindi, ricapitolando: sia \(\displaystyle G\) un gruppo infinito la cui intersezione dei suoi sottogruppi non banali \(\displaystyle F\) sia non banale; abbiamo che \(\displaystyle F\) è un gruppo ciclico finito di ordine \(\displaystyle p\) (numero primo).

Perché \(\displaystyle G\) è un gruppo periodico?, ovvero tutti i suoi elementi hanno ordine finito?

[algibro]

Tutto corretto!

Quindi, ricapitolando: sia \(\displaystyle G\) un gruppo infinito la cui intersezione dei suoi sottogruppi non banali \(\displaystyle F\) sia non banale; abbiamo che \(\displaystyle F\) è un gruppo ciclico finito di ordine \(\displaystyle p\) (numero primo).

Perché \(\displaystyle G\) è un gruppo periodico?, ovvero tutti i suoi elementi hanno ordine finito?

Perché se prendo un qualsiasi elemento $a \in G$ e mi ricavo il sottogruppo generato da quest'ultimo, $(a)={a^i | i \in \mathbb{Z}}$, essendo $F$ l'intersezione di tutti i sottogruppi non banali di $G$ allora è anche $a^n \in F$ per un qualche $n \in \mathbb{Z} $ essendo appunto $F$ il sottogruppo intersezione e siccome in $F$ abbiamo appurato che tutti gli elementi hanno ordine finito allora anche $a$ e tutti gli elementi di $G$ hanno ordine finito !

[j18eos]

Perfetto!

Domanda facoltativa: cosa c'è che non va nella tua soluzione precedente?