da karl » 07/11/2006, 12:15
Una permutazione P di $S_n$ e' detta involuzione se il prodotto con se stessa
restituisce la permutazione identica I: $P*P=P^2=I$
Si dimostra che le sole permutazioni che sono anche involuzioni sono il
prodotto di punti fissi e/o trasposizioni disgiunte (ovvero senza elementi in comune).
Pertanto le trasposizioni semplici sono sempre involuzioni mentre le involuzioni
che non si riducono ad una sola trasposizioni si ottengono accoppiando opportunamente
gli elementi di $S_n$
E' chiaro quindi che per n=2 e n=3 non si hanno involuzioni non trasposizioni mentre
per $n>=4$ sono in numero di $((n-1)(n-2)(n-3))/2$
Esempi
n=4
Si hanno (4-1)(4-2)(4-3)/2=3 involuzioni non trasposizioni e sono:
$(12)(34)=((1,2,3,4),(2,1,4,3))$
$(13)(24)=((1,2,3,4),(3,4,1,2))$
$(14)(23)=((1,2,3,4),(4,3,2,1))$
Verifichiamo, per esempio, che la prima e' una involuzione:
$ ((1,2,3,4),(2,1,4,3)) *((1,2,3,4),(2,1,4,3))=((1,2,3,4),(1,2,3,4))$
Per n=5 sono in numero di (5-1)(5-2)(5-3)/2=12 e sono:
(12)(34),(12)(35),(12)(45)
(13)(24),(13)(25),(13)(45)
(14)(23),(14)(25),(14)(35)
(23)(45),(24)(35),(25)(34)
I termini che non compaiono nelle singole involuzioni sono
quelli fissi.
karl
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