Sottogruppi (HELP ME)

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Sia G un gruppo abeliano e g $in$ G. Decidere se

S = ( h $in$ G : h^n = g^m per qualche n,m $in$ Z) $uu$ (e)

è un sottogruppo di G. Motivare la risposta.

Non riesco a capire come dimostrare che xy^-1 $in$ S

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forse ho un'idea, che me sembra una cavolata, ma che vorrei cmq sottoporre a un vostro giudizio:

dunque io devo dimostrare che xy^-1 $in$ S. Io ho un solo elemento di S che è h, di cui nn sò nemmeno se l'inverso è in S...

Però sò che l'elemento neutro e $in$ S ed essendo e^-1 = e ovviamente anche l'inverso $in$ S. Dunque viene facile dimostrare che:

h e^-1 = h e = h ma noi sappiamo che h $in$ S per definizione di S...

in realtà mi sento di aver fatto un pò cme mi pare....

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Uhm, hark non mi sembra che tu abbia molto chiaro il problema. Devi supporre che $h,k\in S$ e devi dimostrare che $hk^(-1)\in S$, e cioè che $(hk^(-1))^(i)=g^k$ per qualche $i,k\in ZZ$. Ti do una mano. Intanto: $k\in S$, dunque esistono $m,n\in ZZ$ tali che $k^n=g^m$ e dunque $k^(-n)=g^(-m)$. Prosegui tu...

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ok ma se poi prendi un h in S, esisteranno dunque due interi n' e m' tali che h^n'=g^m'.
dunque (h^n' * k^-n) = g^m'-m.
questo mi fa concludere che allora h*k^-1 sta in S? se sì perchè??

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No, non ti fa ancora concludere. Devi allora dire: $(hk^(-1))^(n'n)=(h^(n'n)k^(-n'n))=g^(m'n)g^(-mn')=g^(m'n-mn')$ e dunque ottieni che $hk^(-1)\in S$.

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ma chi ti permette di scrivere (hk^-1)^n'n=(h^n'n*k^-n'n)?
le basi e gli esp sono diversi.

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In un gruppo abeliano vale che $(ab)^n=a^nb^n$

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si io dicevo che n e n' sono diversi e anke h k lo sono quindi nn poui passare da (h^n' * k ^-n) a (hk^-1)^n'n

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Ma io non ho fatto il passaggio che hai scritto tu, infatti.