da fields » 27/11/2006, 19:26
Per dimostrare che $Z(G)$ è un sottogruppo, devi supporre $a,b\in Z(G)$ e dimostrare che $ab^(-1)\in Z(G)$. Per verificare questo devi prendere un qualunque $g\in G$ e dimostrare che $ab^(-1)g=gab^(-1)$. Poiché $b\in Z(G)$, allora $bg=gb$ e dunque $b^(-1)g=gb^(-1)$. Inoltre $a\in Z(G)$ e dunque $ag=ga$. Quindi $ab^(-1)g=agb^(-1)=gab^(-1)$, e abbiamo dunque raggiunto il nostro scopo.
Che poi $Z(G)$ sia normale è ovvio. Infatti, sia $g\in G$ e $a\in Z(G)$. Allora $gag^(-1)=agg^(-1)=a\in Z(G)$, che è la tesi.
[i]La Realtà non si capisce, alla Realtà ci si abitua[/i]