[esercio] relazioni e classi

[tdi160cv]

Nell'insieme dei numeri relativi Z considera la relazione R={(x,y)| x -y multiplo di 3 } ( cioè x-y =3k)
trovare se e' una relazione d'equivalenza e eventuali classi di equivalenza.

Ora ... la soluzione e' riportata in parte ma onestamente pur conoscendo bene le principali proprieta mi riesce difficile verificarne la transitiva.
Eccola ...

La relazione
R={(x,y)| x -y multiplo di 3}
è riflessiva perché x-x=0 (k=0)
è simmetrica perché
se x-y=3k allora y-x=3(-k)
è transitiva (verificalo!)

Le classi di equivalenza saranno
C1={...,-3, 0, 3, ...}
C2={...,-2, 1, 4, ...}
C3={...,-1, 2, 5, ...}

Infine quello che proprio non mi e' affatto chiaro e' come l'autore trova le classi ...
Mi potete aiutare tenendo presente che davanti avete una persona che comincia ora a masticare qualcosa di matematica e che ha bisogno di non dare nulla per scontato ?
(per esempio ... perchè l'autore introduce un nuovo elemento k ?)

Un grazie a tutti.

[leev]

ciao,

transitiva:
hai x~y e y~z, verificare: x~z. (~ sta per è equivalente)
quindi hai: x-y=3h, y-z=3k
allora: x-z=x-y+y-z=3h+3k=3(h+k), dunque x~z.

Per le classi, per un elemento x di $ZZ$: la sua classe per definizione è
$[x] = {y in ZZ | x-y=3h, h in ZZ}$
$={x-3h | h in ZZ}$
Quindi i tuoi C1,C2,C3 (i miei [0],[1],[2]) li determini semplicemente sostituendo la x.
[0], [1] e [2] unite formato tutto $ZZ$, sono quindi le uniche classi presenti.
(chiaramente [0]=[3]=..., [1]=[4]=..., ...)

[tdi160cv]

ciao,

transitiva:
hai x~y e y~z, verificare: x~z. (~ sta per è equivalente)
quindi hai: x-y=3h, y-z=3k
allora: x-z=x-y+y-z=3h+3k=3(h+k), dunque x~z.

ok ... piu' o meno mi pare chiara ... ora vedo di pensarci sopra e risolvere altri esercizi ...

Per le classi, per un elemento x di $ZZ$: la sua classe per definizione è
$[x] = {y in ZZ | x-y=3h, h in ZZ}$
$={x-3h | h in ZZ}$
Quindi i tuoi C1,C2,C3 (i miei [0],[1],[2]) li determini semplicemente sostituendo la x.
[0], [1] e [2] unite formato tutto $ZZ$, sono quindi le uniche classi presenti.
(chiaramente [0]=[3]=..., [1]=[4]=..., ...)

domanda ... perchè si usa il simbolo dollaro e perchè l'insieme Z e' definito ZZ ?
poi mi parli di definizione ... quale ?

chiedo scusa ma davvero faccio una fatica impressionante ...

[leev]

Per quanto riguarda i dollari e le doppie Z ti consiglio di dare un occhiata qua:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6287


La classe di equivalenza di x, per definizione è
[x] := {y tali che y~x} , intendevo solamente ciò

[tdi160cv]

Per le classi, per un elemento x di $ZZ$: la sua classe per definizione è
$[x] = {y in ZZ | x-y=3h, h in ZZ}$
$={x-3h | h in ZZ}$
Quindi i tuoi C1,C2,C3 (i miei [0],[1],[2]) li determini semplicemente sostituendo la x.
[0], [1] e [2] unite formato tutto $ZZ$, sono quindi le uniche classi presenti.
(chiaramente [0]=[3]=..., [1]=[4]=..., ...)

allora ... e' grave se ho capito il senso ma non capisco ancora che ragionamento ci sta dietro per arrivare a tale soluzione ?
Proviamo con un esercizio simile ...

ipotizziamo che R= a,b|a,b appartiene Z , a^2 - b^2 sia multiplo di 5
Per la proprieta' riflessiva abbiamo che a^2 - a^2 = zero che e' multiplo ... ci siamo ...
simmetrica abbiamo che a^2 - b^2 = b^2 - a^2 in quanto a^2 - b^2 = 5X e -(b^2 - a^2) = -5X
per la transitiva a^2 - b^2 = 5x b^2 - c^2 = 5y allora a^2 - c^2 = (a^2 - b^2) + (b^2- c^2) = 5(x+y)  ~ a^2 - c^2
e cosi' sappiamo che e' una relazione di equivalenza ...
bene ... ma per il calcolo delle sue classi ? cioè come e' necessario ragionare per trovare le classi di equivalenza [0]r [5]r e come si puo arrivare a sapere quante sono le classi di equivalenza per la relazione di cui sopra ?

Scusate ancora per le richieste forse eccessivamente stupide.

grazie e ciao a tutti

[tdi160cv]

up

[Ravok]

Ciao

per il tuo esercizio:
la tua relazione è $aRb <=> a^2-b^2 =5k$ cioè a è in relazione con b ssse $5|a^2-b^2$. Bhè è gia qualcosa, infatti poni
$[a]={b$ tc $ a^2-b^2=5k}={b $ tc $ (a-b)(a+b)=5k}={b $ tc $ 5|a-b $ oppure $ 5|a+b}$ perchè 5 è primo. Adesso ti puoi costruire le tue classi che saranno 3...

ciao

[tdi160cv]

Ciao

per il tuo esercizio:
la tua relazione è $aRb <=> a^2-b^2 =5k$ cioè a è in relazione con b ssse $5|a^2-b^2$. Bhè è gia qualcosa, infatti poni
$[a]={b$ tc $ a^2-b^2=5k}={b $ tc $ (a-b)(a+b)=5k}={b $ tc $ 5|a-b $ oppure $ 5|a+b}$ perchè 5 è primo. Adesso ti puoi costruire le tue classi che saranno 3...

ciao

5 e' primo ??? cosa intendi ?
e come faccio a costruire le mie classi ?
da dove hai capito che saranno 3 ?

[tdi160cv]

nessuno che mi da un supporto ?
capisco che con me non sia semplcie ... uff ...

[Ravok]

allora:
la tua relazione è $aRb <=> a^2-b^2 =5k$ questo vuol dire che l'insieme $[a]={b in ZZ$ tc $ a^2-b^2=5k}$ è l'insieme di quegli elementi tali che $a$ al quadrato meno $b$ al quadrato è uguale a $5$. Cercando di sviluppare un pò il tuo insieme per capire come è fatto otteniamo
$[a]={b$ tc $ a^2-b^2=5k}={b $ tc $ (a-b)(a+b)=5k}={b $ tc $ 5|a-b $ oppure $ 5|a+b}$ L'ultimo insieme è tale perchè se un numero prim divide un prodotto, allora sei certo che deve dividere uno dei fattori. In questo caso 5 è primo, quindi se divide $(a-b)(a+b)$ allora o divide $(a-b)$ oppure divide $(a+b)$.

Adesso sei quasi arrivato, infatti per elencazione (se non si vede a occhio) descrivi le tue classi.... cominci da
$[0]={b $ tc $ 5|0-b $ oppure $ 5|0+b}$ quindi $={0,5,-5,10,-10...}$ cioè i multipli di 5.
$[1]={b $ tc $ 5|1-b $ oppure $ 5|1+b}$ quindi $={1,-1,4,-4,6,-6,9,-9,11,-11,14,-14,16,-16....}$ infine
$[2]={b $ tc $ 5|2-b $ oppure $ 5|2+b}$ quindi $={2,-2,3,-3,7,-7,8,-8,12,-12,13,-13....}$
Come si nota le classi sono tre, infatti $[3]=[2]$, $[4]=[1]$, $[5]=[0]$.

Adesso per riconoscere una classe sai come fare...mi spiego se hai $[57*13-2]$ non ne verresti più fuori... ma sfruttando le proprietà delle classi $=[57][13]-[2]=[2][2]-[2]=[2]$

spero ti sia più chiaro....
ciao