L'insieme degli elementi regolari in B(X)

[DavidHilbert]

Sia $(X, | \cdot|)$ uno spazio di Banach sul campo K dei numeri reali o complessi e B(X) il K-spazio degli operatori lineari su X con la norma operatoriale $|\cdot |_{B(X)}: B(X) \to RR: A \to \sup_{0 \ne x \in X} \frac{|Ax|}{|x|}$, che siano pure continui nella topologia $\tau$ indotta dalla norma. Provare che l'insieme $R(X)$ degli elementi regolari in $B(X)$ è aperto in $\tau$.

[Luca.Lussardi]

Manca la definizione di elemento regolare.

[DavidHilbert]

Rimedio subito: in un semigruppo $(G,*)$, un elmento $a \in G$ si dice regolare se esiste un qualche elemento $b \in G$ per cui $a = a*b*a$. Nel nostro caso, $G = B(X)$ e $*$ è il prodotto di composizione.