Sia dato l'insieme $N^(+)$... trovare una sigma-algebra su questo insieme t.c. ogni insieme dell'algebra o sia il vuoto oppure contenga un numero infinito di elementi.
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sigma-algebre
da Thomas » 09/02/2007, 00:14
Posto un quesito che mi ha impegnato un pò (ma non è che sappia molto su queste cose, quindi...)... vediamo cosa trovate voi
Sia dato l'insieme $N^(+)$... trovare una sigma-algebra su questo insieme t.c. ogni insieme dell'algebra o sia il vuoto oppure contenga un numero infinito di elementi.
Sia dato l'insieme $N^(+)$... trovare una sigma-algebra su questo insieme t.c. ogni insieme dell'algebra o sia il vuoto oppure contenga un numero infinito di elementi.
- Thomas
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da fields » 09/02/2007, 16:52
Problema carino, Thomas, potevi postarlo in giochi matematici, qui nella sezione università non riceve la dovuta attenzione...
La mia soluzione è questa. Sia $R$ una relazione di equivalenza su $NN$. Diciamo che $X\sube NN$ e' estensionale rispetto a $R$ se ogni volta che $x\in X$ e $xRy$, abbiamo che $y\in X$.
E' facile definire una relazione di equivalenza su $NN$ tale che ogni classe di equivalenza abbia infiniti elementi e ci siano infinite classi di equivalenza. Poniamo ad esempio $nRm$ se il numero dei divisori primi di $n$ e' uguale al numero dei divisori primi di $m$.
Sia ora $F$ l'insieme dei sottinsiemi di $NN$ estensionali rispetto a $R$.
Poiche' la relazione di equivalenza $R$ ha infinite classi, e ogni classe di equivalenza e' ovviamente estensionale rispetto a $R$, $F$ ha infiniti elementi. Sia inoltre $X\in F$ e sia $X^c$ il complemento di $X$ in $NN$. Sia $x\in X^c$ e $xRy$. E chiaro che $y\notin X$, altrimenti $x\in X$; dunque $y\in X^c$. Dunque $X^c$ e' estensionale.
Sia ora $Y$ un sottinsieme di $F$, $x\in uu Y$ e $xRy$. Esiste $X\in Y$ tale che $x\in X$. Ma allora $y\in X$ e dunque $y\in uuF$. Dunque $UY$ e' estensionale.
Segue dunque che $F$ e' una sigma algebra. Inoltre sia $X\in F$. Se $X$ non e' vuoto, allora ha un elemento $x$ e con esso tutta la sua classe di equivalenza e quindi infiniti elementi. Dunque $F$ e' l'algebra cercata.
La mia soluzione è questa. Sia $R$ una relazione di equivalenza su $NN$. Diciamo che $X\sube NN$ e' estensionale rispetto a $R$ se ogni volta che $x\in X$ e $xRy$, abbiamo che $y\in X$.
E' facile definire una relazione di equivalenza su $NN$ tale che ogni classe di equivalenza abbia infiniti elementi e ci siano infinite classi di equivalenza. Poniamo ad esempio $nRm$ se il numero dei divisori primi di $n$ e' uguale al numero dei divisori primi di $m$.
Sia ora $F$ l'insieme dei sottinsiemi di $NN$ estensionali rispetto a $R$.
Poiche' la relazione di equivalenza $R$ ha infinite classi, e ogni classe di equivalenza e' ovviamente estensionale rispetto a $R$, $F$ ha infiniti elementi. Sia inoltre $X\in F$ e sia $X^c$ il complemento di $X$ in $NN$. Sia $x\in X^c$ e $xRy$. E chiaro che $y\notin X$, altrimenti $x\in X$; dunque $y\in X^c$. Dunque $X^c$ e' estensionale.
Sia ora $Y$ un sottinsieme di $F$, $x\in uu Y$ e $xRy$. Esiste $X\in Y$ tale che $x\in X$. Ma allora $y\in X$ e dunque $y\in uuF$. Dunque $UY$ e' estensionale.
Segue dunque che $F$ e' una sigma algebra. Inoltre sia $X\in F$. Se $X$ non e' vuoto, allora ha un elemento $x$ e con esso tutta la sua classe di equivalenza e quindi infiniti elementi. Dunque $F$ e' l'algebra cercata.
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da Thomas » 11/02/2007, 22:55
bene fields 
elegante e chiaro come al solito... scusa se ti rispondo solo ora ma questo week-end ero occupato ... cmq l'ho messo in università perchè non mi sembra un "gioco" ma un esercizio che richiede anche delle basi non elementari, più che altro per questioni di terminologia
io avevo cercato di risolvere la questione partendo in modo simile e concludendo in modo diverso... allora...
Prima trovo una partizione di $N$ in sottoinsiemi disgiunti $A_i, i in I$ di modo che la cardinalità di $I$ sia numerabile e tutti gli $A_i$ siano di cardinalità numerabile. E questo si può fare perchè un' unione numerabile di insiemi è ancora numerabile.
A questo punto considero la bigezione $\phi$ tra un insieme $N'$ di cardinalità numerabile ed $I$ (la bigezione in realtà è inutile, si potrebbe lavorare direttamente su I, ma mi pare semplifichi le idee). Su $N'$ esiste la sigma-algebra costituita dall'intero insieme delle parti di $N'$. Definisco la sigma-algebra come l'insieme degli insiemi $uu_(i in K)A_(phi(i))$ al variare di $K$ nell'insieme delle parti di $N'$. Questa è una sigma-algebra, infatti:
- $uu_(i in N')A_(phi(i))=N$ e quindi l'intero insieme vi appartiene, analogamente il vuoto vi appartiene se $K$ è il vuoto;
- stabilità per complemento rispetto ad $N$. Se X appartiene allora $X=uu_(i in K)A_phi(i)$ per un qualche $K$. e allora:
$uu_(i in K^c)A_(phi(i))=X^c$
e per verificarlo si possono vedere le due inclusioni.
$sube$: basta osservare che $A_(phi(K))$ e $A_(phi(K^c))$ (stavolta sottointendo con quella notazione l'unione, spero sia chiara) sono disgiunti per ogni insieme $K$ perchè l'unione degli inisiemi $A_i$ era una partizione e la $\phi$ una bigezione;
$supe$: segue ancora dal fatto che l'unione era una partizione;
- stabilità per unioni infinite (da controllare, cmq basta prendere l'unione dei vari $K$);
- infinità degli elementi della sigma algebra: segue dal fatto che tutti gli $A_(phi(i))$ con $i in I$ sono diversi;
- ogni elemento della sigma algebra contiene infiniti elementi, in quanti ognuno, se non vuoto contiene almeno un insieme del tipo $A_(phi(i))$, che ne contiene infiniti;
ok... scusate se non so assolutamente essere chiaro... e se come al solito ho tralasciato parecchi punti...
elegante e chiaro come al solito... scusa se ti rispondo solo ora ma questo week-end ero occupato ... cmq l'ho messo in università perchè non mi sembra un "gioco" ma un esercizio che richiede anche delle basi non elementari, più che altro per questioni di terminologia
io avevo cercato di risolvere la questione partendo in modo simile e concludendo in modo diverso... allora...
Prima trovo una partizione di $N$ in sottoinsiemi disgiunti $A_i, i in I$ di modo che la cardinalità di $I$ sia numerabile e tutti gli $A_i$ siano di cardinalità numerabile. E questo si può fare perchè un' unione numerabile di insiemi è ancora numerabile.
A questo punto considero la bigezione $\phi$ tra un insieme $N'$ di cardinalità numerabile ed $I$ (la bigezione in realtà è inutile, si potrebbe lavorare direttamente su I, ma mi pare semplifichi le idee). Su $N'$ esiste la sigma-algebra costituita dall'intero insieme delle parti di $N'$. Definisco la sigma-algebra come l'insieme degli insiemi $uu_(i in K)A_(phi(i))$ al variare di $K$ nell'insieme delle parti di $N'$. Questa è una sigma-algebra, infatti:
- $uu_(i in N')A_(phi(i))=N$ e quindi l'intero insieme vi appartiene, analogamente il vuoto vi appartiene se $K$ è il vuoto;
- stabilità per complemento rispetto ad $N$. Se X appartiene allora $X=uu_(i in K)A_phi(i)$ per un qualche $K$. e allora:
$uu_(i in K^c)A_(phi(i))=X^c$
e per verificarlo si possono vedere le due inclusioni.
$sube$: basta osservare che $A_(phi(K))$ e $A_(phi(K^c))$ (stavolta sottointendo con quella notazione l'unione, spero sia chiara) sono disgiunti per ogni insieme $K$ perchè l'unione degli inisiemi $A_i$ era una partizione e la $\phi$ una bigezione;
$supe$: segue ancora dal fatto che l'unione era una partizione;
- stabilità per unioni infinite (da controllare, cmq basta prendere l'unione dei vari $K$);
- infinità degli elementi della sigma algebra: segue dal fatto che tutti gli $A_(phi(i))$ con $i in I$ sono diversi;
- ogni elemento della sigma algebra contiene infiniti elementi, in quanti ognuno, se non vuoto contiene almeno un insieme del tipo $A_(phi(i))$, che ne contiene infiniti;
ok... scusate se non so assolutamente essere chiaro... e se come al solito ho tralasciato parecchi punti...
- Thomas
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