Avrei una curiosità sui gruppi abeliani finiti, è la seguente:
Sia $G$ gruppo abeliano finito, allora per ogni $d$ tale che $d||G|$ esiste $H<G$ tale che $|H|=d$.
È vero?
Io, a senso, direi di si. Una traccia di una possibile dimostrazione secondo me potrebbe essere questa:
Consideriamo $|G|=p_1^(a_1)*p_2^(a_2)*...*p_n^(a_n)$, allora per Cauchy per ogni $p_i$ esiste $x_i in G$ tale che $o(x_i)=p_i$ e quindi posso considerare $H=<x_i>$ e questo ha cardinalità $p_i$.
Similmente per ogni sottogruppo del tipo $|H|=p_1*p_2*...*p_r$ posso trovare un elemento che lo genera: dato che $(o(x),o(y))=1 \Rightarrow o(x*y)=o(x)*o(y)$ prendo $<x_1*...*x_r>$ ed è il sottogruppo che cercavo.
Ora il problema è per i sottogruppi del tipo $|H|=p_1^(b_1)*...*p_n^(b_n)$ con $b_i<=a_i$.
La mia idea sarebbe mostrare che, dato $K<G$, ogni quoziente $G / K$ identifica un sottogruppo di $G$ a cui è isomorfo. In questo caso basterebbe quozientare varie volte per i vari sottogruppi già trovati per ottenere un sottogruppo di qualsiasi cardinalità. Solo che non riesco a dimostrare la mia idea!
Ci tengo a sottolineare che la mia preparazione sui gruppi non comprende: teorema di Sylow, teorema di Cayley e cose più avanzate
. Magari la soluzione al problema non è accessibile con le mie attuali conoscenze, ma mi piacerebbe comunque vederla 
Chiedo scusa se questo post può risultare un po' confusionario, grazie a chi risponderà!
