Sul principio di induzione completa

[algibro]

Riporto di seguito, letteralmente nel virgolettato, quanto trovato nel testo "Un invito all'algebra, Leonesi - Toffaroli" riguardo il Principio di Induzione completa, in quanto non riesco a convincermi della definizione, tantomeno della dimostrazione.

"Sia $A$ un sottoinsieme di $N$ tale che, $\forall n \in \mathbb{N}$, se ${m \in \mathbb{N} | m<n} \subseteq A$, allora $n \in A$.
Allora $A=\mathbb{N}$
Dimostrazione. Se $A \ne \mathbb{N}, A-\mathbb{N} \ne \emptyset$ e dunque ha minimo $n$. Così $n \notin A$, ma ogni naturale $m<n$ è in $A$ e questo è assurdo."

Come prima cosa, leggerissima, se prendo un sottoinsieme vuoto $A$ di $\mathbb{N}$ non avrò mai $m \in A$ e quindi nemmeno ${m \in \mathbb{N} | m<n} \subseteq A$. Pertanto dovrebbe essere "Sia un sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{N}$", credo.
La cosa che però non capisco è che se, nella dimostrazione, quando per arrivare all'assurdo di ipotizza $A$ insieme finito con un minimo $n$, perché poi $n \notin A$ ?
Inoltre se nella dimostrazione scriviamo che ogni naturale $m < n$ è in $A$ non credo sia sufficiente scrivere nella proposizione che se ${m \in \mathbb{N} | m<n} \subseteq A$, allora $n \in A$, ma deve anche essere viceversa. Altrimenti otteniamo comunque un insieme $\mathbb{N}$ il cui minimo può non essere lo $0$.

In altre parole la proposizione mi sembra traducibile in:
$m \in A \Rightarrow n=s(m) \in A$
ha così senso dire che $A=\mathbb{N}$ ma solamente se poniamo $m=0$

Insomma, o c'è qualcosa nelle notazioni che non mi torna o non capisco come dalla dimostrazione debba inequivocabilmente dedurne che $A=\mathbb{N}$

[Crispolto]

A può anche essere vuoto, in questo caso non soddisfa la seconda premessa e quindi il teorema è vero.
n appartiene al complementare di A in N.
Come hai detto tu la dimkstrazione è per assurdo, siccome A=/=N porta ad un assurdo ( l'assurdo è che n deve essere sia in A ma anche non deve essere in A), deve essre vero il contrario, cioè A=N.