Lavinia Volpe ha scritto:vedo che l'intersezione è vuota perché il vettore che genera W è diverso dal vettore che genera U e perché per qualsiasi scalare per cui li si moltiplichi saranno diversi, in quanto hanno una componente uguale e una diversa
Questo è un grave errore concettuale. L'intersezione non è l'insieme vuoto, bensì il vettore nullo $vec 0$. Il tuo modo operativo però in questo caso funziona. In generale potresti non essere così fortunata. Vedi
qui,
qui e
qui.
E' evidente che ${(2,1),(0,1)}$ sono linearmente indipendenti e pertanto formano una base di $mathbb(R^2)$. Pertanto $U+W=RR^2$. Quindi $U oplus W=V$.
Passiamo alla seconda richiesta:
Anche qui si vede subito che ${(2,1),(1,1)}$ sono linearmente indipendenti, per cui formano una base di $V$. Segue immediatamente che la loro intersezione è ancora il vettore nullo. Anche in questo caso la somma è diretta. Fine.
Lavinia Volpe ha scritto:vedo che ciascun vettore di V è somma del vettore che genera W e del vettore che genera U opportunamente scalati così
y(a,b)=x1(2,1)+x2(0,1)
(a,b)=x1(2,1)+x2(0,1)y
Stai cercando di dimostrare che ${(2,1),(1,1)}$ sono un sistema di generatori di $V$, ma così allunghi (e ti complichi) solo il procedimento. Una volta che hai trovato che sono lin. indipendenti, visto che siamo in $RR^2$, puoi già dire che sono una base.