teoria dei gruppi

[deggianna]

G e' gruppo ciclico generato da g
H e K sono soui sottogruppi con #H=20 e #K=84
tra le richieste c'e' quella di dimostrare che H e K sono ciclici....
mi sono un po' confusa...

[TomSawyer]

Poiché $\lcm(20,84)=420$ hai che il più piccolo gruppo con i due sottogruppi $H,K$ ha ordine $420$. Quindi esiste un unico divisore di $420$ tale che $H$ è un sottogruppo ciclico generato da $g^d$ e $#H=420/d$. Lo stesso vale oer $K$. Insomma, c'è un teorema che ti dice che un sottogruppo è ciclico sotto quelle condizioni.
Per trovare i generatori basta che tieni conto che il sottogruppo cicliclo generato da $g^k$ ha ordine $420/d$, con $d=\gcd(420,k)$.

[erasmo]

ogni sottogruppo di un gruppo ciclico e' pure lui ciclico

[TomSawyer]

Si;, quello che le stavo dicendo. Ma si vede che non consceva il teorema, cosi' le ho spiegato. Comunque, i dati che hai dato mi sembrano un po' strani, quindi prova a spiegare meglio.

[fields]

ogni sottogruppo di un gruppo ciclico e' pure lui ciclico

Una dimostrazione che mi viene in mente, banale, ma interessante perche' astratta, e' questa.

Sia $G$ un gruppo ciclico generato da $g$ e $H$ un sottogruppo di $G$. Sia $I$ l'insieme degli $n\in ZZ$ tali che $g^n\in H$. E' banale verificare che $I$ e' un ideale di $ZZ$ e dunque principale e quindi $I=mZZ$. Poiche' per definizione $g^m\in H$, abbiamo allora che $g^m$ genera $H$.

[erasmo]

splendida dimostrazione, complimenti!

[deggianna]

grazie a tutti...
cmq si, i dati erano solo quelli..mi ero confusa in quanto mi ero fatta una dimostrazione che mi riportava al punto di partenza.