Con l'assioma della scelta ogni insieme ha un cardinale, definito come l'
ordinale iniziale nella classe di tutti gli insiemi con cui lui è in biiezione: in simboli
\[\#A := \inf \big\{ \alpha \in \mathbf{Ord}\mid \alpha \cong A \big\}\] E' l'assioma della scelta (nella forma dell'asserto per cui "ogni insieme si può ben-ordinare") a garantirti che questo inf esista.
Perciò, la prima cosa da avere chiara in testa è che i cardinali sono particolari numeri ordinali. Ora, l'elevamento a potenza di un insieme rispetto ad un altro è l'operazione che rende vero che esistono delle biiezioni
\[\mathbf{Set}(X\times Y, Z) \cong \mathbf{Set}(X, Z^Y)\cong \mathbf{Set}(Y, Z^X)\] che sono
naturali nei tre argomenti.
In tal senso, esiste un modo ragionevole in cui si possono definire delle operazioni binarie tra numeri cardinali: scrivo \(\#A\) per indicare un generico cardinale, dal momento che è ovvio (dalla definizione) che ogni cardinale è la cardinalità di sé stesso. Col che:
\[
\begin{gather*}
\# A + \# B := \#(A\amalg B)\\
\#A \cdot \#B := \#(A\times B)\\
\# A^{\# B} := \#(A^B)
\end{gather*}
\] Questo significa che la cardinalità di \(\omega^\omega\) è la cardinalità dell'insieme di tutte le funzioni da \(\omega\) in sé stesso. E questo insieme è non numerabile come è semplice dimostrare (è sufficiente trovare una funzione iniettiva \(2^\omega \to \omega^\omega\): un esempio è il seguente, prendi una successione numerabile \((a_n)\) di zeri ed uni, e mandala nella funzione che manda \(n\in\omega\) nella ridotta \(n\)-esima di \((a_n)\) riguardata come numero in base 2, o per meglio dire in \(\sum a_i 2^i\). Questa funzione è iniettiva, come ti lascio dimostrare.
Qualcosa di completamente diverso accade con l'aritmetica ordinale, dove invece si parte con una operazione detta
somma ordinale, in cui un ordinale \(\alpha\) e un ordinale \(\beta\) vengono sommati giustapponendo il primo al secondo, e ottenendo un nuovo ordinale \(\alpha\oplus\beta\) che risulta dalla loro "giunzione". Questa operazione non si comporta molto bene perché non è simmetrica, nemmeno sugli insiemi finiti (ti invito a trovare il motivo per cui, benché \([m]\oplus[n]\) e \([n]\oplus[m]\) abbiano lo stesso insieme sottostante, essi non sono naturalmente isomorfi, nel senso che non è possibile far commutare il quadrato
\[
\begin{array}{ccc}
[m]\oplus[n] &\to&[n]\oplus[m]\\
\downarrow && \downarrow\\
[m']\oplus[n'] &\to&[n']\oplus [m']
\end{array}
\] quando ti siano date delle funzioni monotòne \([m]\to [m'], [n]\to [n']\)). Usando la somma ordinale puoi definire le operazioni di prodotto ed elevamento a potenza
ordinale come segue:
- \(\alpha \odot \beta = \alpha \oplus \alpha\oplus \dots\oplus \alpha\) con la somma fatta \(\beta\) volte (ti basta definirla al passo base e poi fare ricorsione); nota che però allora il prodotto ordinale non è commutativo, dal momento che \(\omega\cdot 2 = \omega\oplus \omega\) e invece \(2\cdot \omega = 2\oplus 2\oplus2\oplus\dots = \omega\) (\(\omega\oplus\omega\) non può essere isomorfo ad \(\omega\) perché ...?).
- \(\alpha^{(\beta)} = \alpha\odot\alpha\odot\dots\) (idem, si fa per ricorsione: per essere più formali dì pure che $\alpha^{(0)}:=1$ e che $\alpha^{(\gamma+1)} := \alpha^{(\gamma)}\odot \alpha$, $\alpha^{(\text{colim}_{\beta < \kappa} \beta)} := \text{colim}_{\beta < \kappa} \alpha^{(\beta)}$. Ho riservato un altro simbolo all'esponenziazione proprio per non confondere le acque, del resto la mia notazione è altamente non classica, benché meno ambigua.
Le potenze ordinali non cambiano la cardinalità (almeno, non sempre: diciamo che "spesso non lo fanno"); del resto è una cosa che apprezzi per la prima volta proprio definendo $\omega^{(\omega)}$, perché quest'ultimo è semplicemente l'insieme $\bigcup_n \omega^n$ (che questo sia un ordinale va dimostrato). Così come ora va dimostrato che questo aggeggio è numerabile. Lo è, buona fortuna