Ideali primi

[fabiodisante1993]

scusate, non riesco a risolvere un esercizio che dovrebbe essere semplici ma secondo me manca una ipotesi.

Sia π : A → B un omomorfismo suriettivo di anelli commutativi
unitari. Dimostrare che, se P è un ideale primo di A, la sua immagine
π(P) è un ideale primo di B.

Secondo me serve anche l'iniettività. Grazie mille in anticipo.

[Martino]

No non serve l'iniettività. Procedi nel modo ovvio: prendi $x$, $y$ in $B$ e supponi che $xy in pi(P)$ ... [Manca un'ipotesi: si veda sotto.]

[fabiodisante1993]

certamente ho fatto così. Ma poi ho un problema, se puoi scrivermelo per intero mi faresti un favore. Tanto secondo il tuo ragionamento dovrebbe essere corto. cioè tu dici che esistono a e b t.c. π(a)=x e π(b)=y tale che xy=π(a)π(b)=π(ab) ∈ π(P) . Ma ciò non vuol dire che ab ∈ P, ma solo che ab ∈ π^-1(P).

[fabiodisante1993]

correggo: ciò implica che ab ∈ π^-1(π(P))

[Martino]

Esatto. Ti rimane da mostrare che $pi^{-1}(pi(P)) = P$ (usando che $pi$ e' suriettiva). [FALSO: si veda sotto]

[Martino]

Ritiro quello che ho detto, stai cercando di dimostrare una cosa falsa effettivamente per esempio l'ideale nullo è primo in $ZZ$ ma non è primo in $ZZ//4ZZ$ naturalmente.

L'ipotesi che manca è che il tuo ideale primo deve contenere il nucleo dell'omomorfismo.

Scusami la confusione.

[fabiodisante1993]

ok grazie mille.