Prodotto tensoriale campi ciclotomici

[melusina89]

Ciao a tutti!
Sto studiando un articolo di crittografia e sono incappata in un argomento (credo) di teoria analitica dei numeri. L'argomento in questione è il prodotto tensoriale tra campi. Sto trovando tantissime difficoltà un po' perché non sono riuscita a trovare un buon testo di riferimento e un po' perché sono più di tre anni che non tocco la teoria dei campi.
Spero che possiate aiutarmi.

Sia $\zeta_m$ una radice primitiva m-esima dell'unità e sia $K=QQ(\zeta_m)$ l'm-esimo ampliamento ciclotomico di $QQ$.
Sappiamo che $K~=(QQ[X])/((Phi_m(X))$ dove $Phi_m(X)$ è l'm-esimo polinomio ciclotomico.
Allora risulta che $K~=xx_i K_i = QQ(\zeta_(m_1), \zeta_(m_2), ...)$ dove $xx$ denota il prodotto tensoriale, $m = \prod_{i} m_i$ è la fattorizzazione in primi di $m$ e $K_i = QQ(\zeta_(m_i))$.
Ebbene, come si dimostra questo isomorfismo e il fatto che il prodotto tensoriale di questi ampliamenti è uguale a $QQ(\zeta_(m_1), \zeta_(m_2), ...)$???

Equivalentemente possiamo dire che $K~=(QQ[X_1,X_2,...])/((Phi_(m_1)(X_1);Phi_(m_2)(X_2);...))$.
Ma scusate in che relazione sono $QQ(\zeta_(m_1), \zeta_(m_2), ...)$ e $(QQ[X_1,X_2,...])/((Phi_(m_1)(X_1);Phi_(m_2)(X_2);...))$?
Chiedo venia se le domande sono banali ma sono molto arrugginita.

[killing_buddha]

Dovrebbe aiutarti il fatto che se $K$ è un anello unitario, \(K[X]\otimes K[Y]\cong K[X,Y]\), e il fatto che il prodotto tensoriale di due $K$-algebre $A,B$ ha la proprietà universale del coprodotto.

[dan95]

L'isomorfismo naturale è quello che associa $\otimes_i x_i$ a $\prod_i x_i$ dove $x_i \in \mathbb{Q}(\zeta_{m_i})$

[melusina89]

Ok, grazie mille ad entrambi. Cercherò di capirci qualcosa!