Costruzione campo di spezzamento

[caty89]

Salve a tutti!
Della serie "dubbi fantastici e dove trovarli"... sto trovando non pochi problemi nella costruzione dei campi di spezzamento. Mi spiego: dovendo determinare il campo di riducibilità di un dato polinomio, non riesco a costruirlo "materialmente".
In pratica se ho un polinomio \(\displaystyle p(x) \) di grado \(\displaystyle n \), innanzitutto verifico che sia effettivamente irriducibile (controllo che non abbia radici nel campo corrispondente e che non ammetta fattorizzazioni in polinomi di grado inferiore irriducibili); poi, quoziento l'anello di polinomi su cui è definito \(\displaystyle p(x) \) con l'ideale generato da \(\displaystyle p(x) \) stesso, ottenendo, per l'irriducibilità del polinomio, un campo; in tale campo vi è sicuramente una radice del mio polinomio e quindi posso riscrivere il campo in funzione di questa radice: quello che ottengo è il campo di spezzamento di \(\displaystyle p(x) \) (che contiene una, e quindi tutte, le radici del polinomio). Corretto?
Continua a sembrarmi un ragionamento "assurdo"... qualcuno mi può aiutare? Magari posto un esempio?

[Martino]

Sì è meglio se posti un esempio. In generale non basta aggiungere una radice, bisogna aggiungerle tutte. Per esempio \( \displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) non è un campo di spezzamento di $X^3-2$ perché contiene solo la radice reale (le due radici complesse non reali non le contiene).

Tuttavia se il campo base è finito quello che dici ha senso, c'è un risultato che dice che il campo di spezzamento in questo caso è dato aggiungendo una radice per ogni fattore irriducibile. Ma per entrare in dettagli è meglio che posti un esempio.

[caty89]

Sì è meglio se posti un esempio. In generale non basta aggiungere una radice, bisogna aggiungerle tutte. Per esempio \( \displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) non è un campo di spezzamento di $X^3-2$ perché contiene solo la radice reale (le due radici complesse non reali non le contiene).

Ciao. Ti ringrazio innanzitutto.
Si, in questi casi utilizzo le radici dell'unità per generare le altre radici del polinomio.

Tuttavia se il campo base è finito quello che dici ha senso, c'è un risultato che dice che il campo di spezzamento in questo caso è dato aggiungendo una radice per ogni fattore irriducibile. Ma per entrare in dettagli è meglio che posti un esempio.

In quest'altro caso... per esempio, se devo determinare il campo di spezzamento di \(\displaystyle p(x) = x^5 + x^3 + x^2 + x +1 \) rispetto a \(\displaystyle {Z}_2\), dopo aver visto che non ammette radici in \(\displaystyle {Z}_2\) e che non si decompone nel prodotto di due polinomi irriducibili di grado \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle 3 \) rispettivamente (sfruttando il principio di identità dei polinomi), quoziento \(\displaystyle {Z}_2[x]\) con l'ideale generato da \(\displaystyle p(x)\) in \(\displaystyle {Z}_2[x]\) e ottengo un campo, chiamiamolo \(\displaystyle L\); se \(\displaystyle \alpha\) è una radice di \(\displaystyle p(x)\), sapendo che \(\displaystyle \alpha \notin {Z}_2\) ( e che quindi \(\displaystyle \alpha \notin L\)), posso considerare l'estensione \(\displaystyle L(\alpha) = \frac{{Z}_2[x]}{(p(x))}(\alpha)\) che, essendo finita (di grado \(\displaystyle |L(\alpha) : {Z}_2|=5\) e quindi algebrica), contiene anche le altre radici di \(\displaystyle p(x)\) e \(\displaystyle L(\alpha)\) è il campo che sto cercando.
Finisce qui? Non è tutto troppo "astratto", troppo "teorico"?

[Martino]

E' giusto, ma stai usando senza dirlo un teorema che dice la cosa seguente (è quello a cui ho accennato nel post precedente).

Teorema. Se $K$ è un campo finito e $P(X)$ è irriducibile in $K[X]$ allora $K[X]//(P(X))$ è un campo di spezzamento di $P(X)$ su $K$.

Si tratta di un risultato non banale che stai usando, quindi è bene citarlo.

In altre parole la cosa che dici funziona perché il campo dei coefficienti è $ZZ_2$, è finito. Se non fosse finito non potresti concludere in quel modo (vedi l'esempio che ti ho fatto di $X^3-2$ su $QQ$).

[caty89]

E' giusto, ma stai usando senza dirlo un teorema che dice la cosa seguente (è quello a cui ho accennato nel post precedente).

Teorema. Se $K$ è un campo finito e $P(X)$ è irriducibile in $K[X]$ allora $K[X]//(P(X))$ è un campo di spezzamento di $P(X)$ su $K$.

Si tratta di un risultato non banale che stai usando, quindi è bene citarlo.

In altre parole la cosa che dici funziona perché il campo dei coefficienti è $ZZ_2$, è finito. Se non fosse finito non potresti concludere in quel modo (vedi l'esempio che ti ho fatto di $X^3-2$ su $QQ$).

Si, hai ragione, è meglio specificarlo. Ti ringrazio tanto del "suggerimento".
Ti posso chiedere un'ultima cosa?
Se il polinomio \(\displaystyle p(x) \) si fosse spezzato in due polinomi irriducibili, diciamo \(\displaystyle g(x) \) e \(\displaystyle h(x) \), con campi di riducibilità differenti, sempre nel caso dei campi finiti, sarebbe stato sufficiente considerare il campo di spezzamento di uno (ad esempio \(\displaystyle g(x) \)), e aggiungere una radice dell'altro polinomio per ottenere un campo di spezzamento di \(\displaystyle p(x) \), sempre in virtù del fatto che il campo dei coefficienti è finito? Ovviamente facendo poi le dovute considerazioni sull'ordine e sul grado.

[Martino]

Giusto.

[caty89]

Giusto.

Grazie mille! Sei stato gentilissimo!