Uguaglianze insiemistiche

[Pigreco2016]

Sappiamo già la validità delle seguenti inclusioni insiemistiche:
sia $f:X \rightarrow Y$ con $A\subseteq X$ e $B \subseteq Y$
allora $A \subseteq f^(-1)(f(A))$ e $f(f^(-1)(B)) \subseteq B$.
Ora io aggiungo l'ipotesi che la funzione sia anche iniettiva. Allora $A = f^(-1)(f(A))$. Per dimostrare questa uguaglianza insiemistica mi basta solo verificare che $f^(-1)(f(A)) \subseteq A$. Ora visto che ho supposto la f iniettiva, essa ammette una inversa sinistra $g$ che io chiamo $f^(-1)$ e quindi ho automaticamente $f^(-1)(f(A)) = (f^(-1) o\ f) (A) = A$ data la definizione di inversa sinistra ($g \ o \ f = Id_(X)$). Analogamente (supponendo che la f sia suriettiva e che quindi ha un'inversa destra) dimostro che $f(f^(-1)(B)) = B$. Vi sembra giusta questa dimostrazione?

[Pigreco2016]

Ho anche formulato una nuova dimostrazione e vorrei che qualcuno confutasse o confermasse. Devo dimostrare $f^(-1)(f(A)) \subseteq A$ sotto l'ipotesi che la $f$ sia iniettiva. Sia $x \in f^(-1)(f(A)) $, quindi $f(x) \in f(f^(-1)(f(A))) \subseteq f(A) $ cioè $f(x) \in f(A)$. Ora $x$ appartiene ad $A$ esclusivamente, perché nel caso in cui ci fossero altri elementi che vengono mandati in $f(x)$ ma che non appartengono ad $A$ (cioè hanno la stessa immagine), allora la $f$ non sarebbe iniettiva (andando contro la nostra ipotesi e quindi si arriva ad un assurdo). Che ve ne pare delle due dimostrazioni da me fornite??

[G.D.]

La prima dimostrazione non va bene perché stai confondendo il concetto di antiimmagine con il concetto di inversa.
La seconda dimostrazione pure mi sembra che abbia un difetto: se \( x \in f^{-1}(f(A)) \), allora correttamente \( f(x) \in f(f^{-1}(f(A))) \); però che sia \( f(f^{-1}(f(A))) \subseteq f(A) \) dipende dal fatto che \( f^{-1}(f(A)) \subseteq A \), che è proprio ciò che devi dimostrare.

[Pigreco2016]

Hai ragione. Grazie per aver smontato le mie dimostrazioni. quando avrò tempo ci penserò meglio a come risolvere.

[Pigreco2016]

Io ho dedotto l'inclusione $f(f^(-1)(f(A))) \subset f(A) $ in questa maniera:
chiamo $f(A)=B$ e quindi ottengo $f(f^(-1)(B))$
Ora so che $f(f^(-1)(B)) \subset B$ sempre e quindi ho concluso. Sto sbagliando qualcosa?

[Pigreco2016]

Penso di esserci riuscito.
$x \in f^{-1}(f(A))\Leftrightarrow f(x) \in f(A)$
per definizione di controimmagine.
Ora ci sarà $y\in A$ con $f(x)=f(y) \in f(A)$.
Ma f è iniettiva,quindi $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \in A$.
Cioè $A=f^{-1}(f(A))$ se f è iniettiva

[G.D.]

Penso di esserci riuscito.
$x \in f^{-1}(f(A))\Leftrightarrow f(x) \in f(A)$
per definizione di controimmagine.

Ovviamente.

Ora ci sarà $y\in A$ con $f(x)=f(y) \in f(A)$.
Ma f è iniettiva,quindi $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \in A$.
Cioè $A=f^{-1}(f(A))$ se f è iniettiva

Qui non hai detto niente. È già noto che \( \displaystyle A \subseteq f^{-1} \left ( f(A) \right ) \). Devi provare che, sotto l'ipotesi che \( f \) sia iniettiva, risulta anche \( \displaystyle f^{-1} \left ( f(A) \right ) \subseteq A \), quindi devi prendere un \( \displaystyle x \in f^{-1} \left ( f(A) \right ) \) e mostrare che, grazie all'iniettività di \( f \), è anche \( x \in A \).

[Pigreco2016]

E cosa ho appena fatto? Ho dimostrato che preso $x \in f^{-1}(f(A))$, sfruttando l'iniettività di f ho che $x\in A$.

[Pigreco2016]

Qui non hai detto niente.

Spiegami perché non avrei detto niente con quel passaggio. È proprio il punto in cui si usa la iniettività di f invece

[G.D.]

Sì, sì: hai ragione. Errore mio. Non so perché ma ho pensato alla parte

Penso di esserci riuscito.
$x \in f^{-1}(f(A))\Leftrightarrow f(x) \in f(A)$
per definizione di controimmagine.

come scollegata dal resto. Non avevo capito che con questo passaggio intendevi aver già preso \( \displaystyle x \in f^{-1} \left ( f(A) \right ) \). L'ho letto come un semplice richiamo di definizione. Di conseguenza nel passaggio che viene dopo a me risultava mancante un pezzo e, in quanto tale, a me risultava come un passaggio a vuoto.
Scusa: errore mio. La stanchezza di fine giornata.