Difficoltà nel capire i gruppi ciclici

[mklplo]

Salve,iniziando a studiare per la prima volta la teoria dei gruppi mi sono trovato davanti a un argomento che non capisco bene,cioè quello di gruppo ciclico.Anche se conosco una definizione,non riesco ancora a capire se un gruppo è ciclico o meno e quali sono i suoi generatori.Per esempio,in un esercizio mi viene chiesto:"Let $U_n$ denote the integers relatively prime to $n$ ,under moltiplication $mod$$n$.Show that:
$U_8$ isn't a cyclic group
$U_9$is a cyclic group.What are all its generators?
$U_17$ is a cyclic group.What are all its generators?"
La definizione che il libro porta è:Se $G$ è un gruppo finito il cui ordine è un numero primo $p$,allora $G$ è un gruppo ciclico.
E da qui capisco che devo calcolare l'ordine dei gruppi,che mi viene detto essere la cardinalità(in realtà dice il numero di elementi dell'insieme,ma se non sbaglio sono la stessa cosa).Ora quindi il problema è come calcolo la cardinalità dei gruppi?
Perché,non conoscendo altro metodo dovrei mettermi a contare tutti i numeri con quella proprietà e per $n$ "molto grandi",non risulta affatto un metodo efficacie,per risolvere il problema;e non ho idea di come trovare i generatori.

[killing_buddha]

Sbagli diverse cose.

Esistono gruppi ciclici di ogni ordine finito, perciò la condizione di avere ordine primo è solo sufficiente, non necessaria. A riprova di questo fatto, quella che riporti non è una definizione, una definizione consta di una doppia implicazione, il libro scrive (giustamente) solo una implicazione.
Stabilire se un gruppo è ciclico, a parte casi semplici come quelli che possono essere dati per esercizio, non è un problema banale, per trovare tutti gli $n$ tali che $U_n$ è ciclico serve un teorema https://math.stackexchange.com/question ... u-n-cyclic

[mklplo]

grazie,credo di incominciare a capire,quindi dato che $9$ è esprimibile come una potenza di numeri primi(diversi da $2$),$U_9$ è un gruppo ciclico e il generatore è $3$,mentre per $U_17$ il generatore è 17.Infine $U_8$ non può essere espresso come potenza di numeri primi diversi da $2$ e quindi non è un gruppo ciclico.Giusto?

[Martino]

No mklplo, ti suggerisco di ricominciare dall'inizio, dalla definizione di gruppo ciclico. Parlando da moderatore del forum ti informo che è difficile rispondere agli utenti che dimostrano di essere sprovvisti di una base teorica. Probabilmente la soluzione migliore per te potrebbe essere quella di fare un bel corso di algebra di base.

[mklplo]

scusa,ma la teoria dei gruppi non è algebra di base?
p.s:per quanto riguarda la teoria sto seguendo questo libro:"Topics in Algebra,I.N.Herstein,2nd edition".

[G.D.]

Ho letto qualche tuo intervento. Hai davvero 16 anni? Sei davvero uno studente - suppongo - del terzo anno di liceo?

[mklplo]

sì.

[G.D.]

Posso essere sincero al limite del brutale, del tagliente e del caustico, posto che non ce l'ho in alcun modo con te, anche perché sarebbe un po' paradossale avercela con te, dato che nemmeno ti conosco?
In altri termini posso dirti come la penso senza che il mio pensiero ti suoni ad offesa?

[mklplo]

va bene...

[G.D.]

Se hai delle potenzialità (dico "se" non perché ne dubito ma proprio perché non ti conosco e non sono certamente io quello in grado di dirti quanta strada potrai fare a livello accademico in Matematica), stai agendo nel modo ideale per rendere completamente inutili queste potenzialità perché stai agendo/studiando in modo caotico, indisciplinato e confusionario.