Cardinalità e p-Sylow di GLn(Fp)

[Guerino]

Ciao a tutti,

sto provando a risolvere il seguente:

"Si consideri il gruppo $G=G_n=GL_n(\mathbb F_p)$, con p numero primo: si determini gli p-Sylows di G"

Mio tentativo
Dalla formula ricorsiva per la cardinalità di $GL_n(\mathbb F_p)$ ho:

$|G_n|=p^{n-1}*|G_{n-1}|*(p^n-1)$

che per esteso significa ripetere per $n-1$ volte la formula ricorsiva (fino a che $|G_{n-1}|=1$):

$|G_n|=p^{n-1}*(p^n-1)*p^{n-2}*(p^{n-1}-1)*p^{n-3}*(p^{n-2}-1)*...*p*(p^2-1)$

Vorrei quindi scrivere la cardinalità nella forma: $|G_n|=p^r*m$, in modo tale da poter applicare i teoremi di Sylow, ma non ci sono riuscito fino ad ora. Qualcuno sa come aiutarmi, oppure conosce la cardinalità di $GL_n(\mathbb F_p)$ in un' altra forma?

[Martino]

Per l'ordine basta riunire tutte le potenze di $p$ che appaiono come fattori nell'espressione che hai scritto sotto un'unica potenza di $p$.

[Guerino]

Per l'ordine basta riunire tutte le potenze di $p$ che appaiono come fattori nell'espressione che hai scritto sotto un'unica potenza di $p$.

Sono riuscito a fare uno step:

$|G_n|=p^{\sum_{k=1}^{n-1} k}*\prod_{k=1}^{n-1} (p^{k+1}-1)=\prod_{k=1}^{n-1} (p^{2k+1}-p^k)$

ma mi sembra che non si riesca a portare tutto sotto una potenza di p.

Ad esempio, per $n=2$:
$|G_2|=p^3-p$

sbaglio qualcosa nei passaggi?

[Martino]

Ma no, è giusto, l'ordine di un p-Sylow è la potenza di $p$ che appare nella fattorizzazione dell'ordine,
\( \displaystyle p^{\sum_{k=1}^{n-1} k} \) .

[Martino]

Adesso sapendo che \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k = n(n-1)/2 \) dovresti poter individuare un $p$-Sylow. Ricorda che \( \displaystyle n(n-1)/2 \) è esattamente il numero di entrate di una matrice $n xx n$ sopra la diagonale.

[Guerino]

Adesso sapendo che \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k = n(n-1)/2 \) dovresti poter individuare un $p$-Sylow. Ricorda che \( \displaystyle n(n-1)/2 \) è esattamente il numero di entrate di una matrice $n xx n$ sopra la diagonale.

Grazie del suggerimento. Non riesco a capirlo però
Come posso usare il suggerimento che mi hai dato?

[Martino]

Considera il gruppo che consiste delle matrici $n xx n$ con le proprietà seguenti.

1. ogni elemento della diagonale è uguale a 1.
2. ogni elemento sotto la diagonale è uguale a zero.

Questo qui è un gruppo (è il gruppo delle matrici "unitriangolari superiori") contenuto (come sottogruppo) in $GL_n(F_p)$. Che ordine ha?

[Guerino]

Dunque.
Provo per casi semplici:

n=2
$((1,x),(0,1))$, con $x in \mathbb F_p$. Ho quindi p elementi.

n=3
$((1,x,y),(0,1,z),(0,0,1))$, con $x,y,z in \mathbb F_p$. Ho quindi $p^3$ elementi.

n=4
$((1,x,y,z),(0,1,w,v),(0,0,1,t),(0,0,0,1))$, con $x,y,z,... in \mathbb F_p$. Ho quindi $p^6$ elementi.

Quindi il gruppo delle matrici unitriangolari superiori ha ordine: $p^{n*(n-1)/2}$?

[Martino]

Sì

[Guerino]

Quindi poichè ho solo p-Sylow per $G_n$, e questi sono di numero $p^{n*(n-1)/2}$, ho determinato tutti i Sylow?