Ordine e tipo di isomorfia dei p-Sylow di D18

[Guerino]

Buonasera a tutti,

ho un esercizio in cui mi si chiede:

"Si determinino l'ordine ed i tipi di isomorfia dei p-Sylow di $D_18$, il gruppo di simmetria dei poligoni regolari di 18 lati"

Mio svolgimento

Sappiamo che:
$|D_18|=36=2^2*3^2$

Quindi ho 2-Sylow e 3-Sylow.

Incrociando la prima e seconda legge di Sylow si deduce che il numero dei p-Sylow è:
per i 2-Sylow un numero tra 1, 3 e 9; per i 3-Sylow un numero tra 1, 4.

Come faccio a determinare il numero di elementi, rispettivamente per i due p-Sylow che ho di fronte, quando ho dei casi come questo, con diversi valori possibili dalle leggi di Sylow?

[Shocker]

Si fa conoscenza con il gruppo.
Per esempio, considera una rotazione di ordine $18$, questa genera un sottogruppo normale che contiene un $3-$sylow(che tra l'altro è ciclico). Sarebbe bello dimostrare che questo sottogruppo è caratteristico e che quindi il $3-$sylow è normale.

Ciao!

[Guerino]

Grazie mille!