sottogruppo finito di gruppo con infiniti elementi

[algibro]

Ammettiamo io abbia un gruppo $(G,*)$ avente ordine infinito e supponiamo che per un elemento $a \in G$ che genera il sottogruppo $(a)={a^i: i \in ZZ}$ esistano $m,n \in ZZ, m>n$ tali per cui $a^m=a^n$, così che $(a)$ è un sottogruppo di $G$ avente ordine finito $p=m-n$ (dove a $p$ chiediamo di essere il più piccolo intero tale per cui $a^p$ sia l'elemento neutro).
A questo punto, possiamo dire che, per Lagrange, $p$ divide un numero infinito ? Non solo non comprendo quest'affermazione, mi chiedo anche se abbia senso scriverla in questo modo.

D'altra parte, con un generico sottogruppo $H<G$, se $H$ fosse di ordine infinito ed esistessero $k$ laterali, non avremmo problemi a costruire l'operazione $k*o(H)=o(G)$ ! Dove $k$ è un numero finito mentre $o(H)$ ed $o(G)$ no.

Grazie a chi mi schiarirà le idee.

[killing_buddha]

Il teorema di Lagrange non è più vero per gruppi infiniti, che senso avrebbe? Quello che è ancora vero (in una opportuna aritmetica cardinale) è che l'indice soddisfa ancora alla formula per cui \((G:K) = (G:H)(H:K)\) quando $K\le H\le G$.

[algibro]

Certo, abbaglio mio. Grazie.