vi enuncio un po di definizioni e poi vi scrivo il teorema di cui non ben capito la dimostrazione.
Sia $mathbb(K)$ un campo e sia $S\subseteqmathbb(K)[x_1,...x_n]$. Si definisce varietà algebrica associata a $S$ l'insieme $V_S={x\inmathbb(K)^n:f(x)=0 \forallF\inS}$
Se $S={f_1,...,f_t}\subseteqmathbb(K)[x_1,...x_n]$ allora si definisce $I(V_S)={a_1f_1+...+a_tf_t:a_i\inmathbb(K)[x_1,...x_n]}$, ossia l'ideale generato da $S$.
Definisco $\mathbb(K)[V_S]=mathbb(K)[x_1,...x_n]//I(V_S)$
OSSERVAZIONE: la funzione $v_P:\mathbb(K)[V_S]->\mathbb(K):f\mapstof(P)$ è detta valutazione in $P\inV_S$ ed è suriettiva (poiché $\mathbb(K)[V_S]$ contiene i polinomi costanti), quindi $ker(v_P)$ è un ideale massimale di $\mathbb(K)[V_S]$
Teorema Sia $mathbb(K)$ un campo e sia $S\subseteqmathbb(K)[x_1,...x_n]$. Allora le funzioni$\phi:V_S->{\text(omomorfismi ) \mathbb(K)[V_S]->\mathbb(K) \text( "che sono identità" su ) \mathbb(K)}:P\mapstov_P$
$\varphi:{\text(omomorfismi ) \mathbb(K)[V_S]->\mathbb(K) \text( "che sono identità" su ) \mathbb(K)}->{text(ideali massimali ) \mathfrak(m) text( tali che ) \mathbb(K)[V_S]//\mathfrak(m)\cong\mathbb(K)}:v_P\mapstoker(v_P)$
sono corrispondenze biunivoche
DIMOSTRAZIONE
Cominciamo esaminando $phi$:
la funzione è iniettiva perché se ho punti distinti, la valutazione in lora sarà diversa (ok, intuitivamente più o meno ci sta... ma se io volessi vederlo come posso fare a dimostrarlo?).
La suriettività forse mi è chiara: prendo un omomorfismo $g:\mathbb(K)[V_S]->\mathbb(K)$ quindi $g(x_1)=\alpha_1,..., g(x_n)=\alpha_n$. Ora, poiché $g$ è un omomorfismo si ha $g(f(x_1,...,x_n))=f(g(x_1),...,g(x_n))=f(alpha_1,...,alpha_n)$ che è la valutazione di $f$ in $P=(alpha_1,...,alpha_n)$. (in questo ragionamento a cosa mi serve dire che $g$ è identità su $mathbb(K)$???)
Per quanto riguarda la funzione $\varphi$ il prof ha esibito un'inversa (che denoto con $\varphi^-1$):
sia $\mathfrak(m)\in{text(ideali massimali ) \mathfrak(m) text( tali che ) \mathbb(K)[V_S]//\mathfrak(m)\cong\mathbb(K)}$ allora $\varphi^-1(\mathfrak(m))=g:\mathbb(K)[V_S]->\mathbb(K)[V_S]//\mathfrak(m)\cong\mathbb(K)$ ove $g$ è la proiezione canonica.
Grazie in anticipo
