Esercizio estensioni di Galois

[abbandono1]

Salve, sto provando da un giorno a svolgere questo esercizio sulla teoria di Galois, di cui ho svolto gli ultimi 3 punti. Però non so dove mettere le mani per quanto riguarda i primi due:

Sia $finQ[x]$ polinomio di grado 6 con $Gal(f/Q)~=S_6$. Chiamando $E$ il campo di spezzamento di f

i)Determinare i corpi intermedi $QsubeFsubeE$ tali che $[E:F]=9$

Beh qui io avevo pensato di provarci con la teoria di Sylow, arrivando a poter ammettere solo questi casi {1,4,10,16} ma comunque qui mi sono bloccato e sono piuttosto sicuro che ci sia un'altra maniera di risolverlo visto che queste cose le abbiamo usate in algebra 2.

ii) La intersezione di tutti i corpi $F$ contiene propriamente a $Q$.

Qui cercando un poco su internet ho visto che effettivamente i 3-sylow sono 10, quindi i corpi intermedi sono 10 e ho provato a ragionare su numero di elementi e cardinalità varie delle intersezioni ma è difficile fare tutti i conti quanto i corpi sono così tanti e la dimensione altrettanto.
Possibile che la chiave sia che il gruppo non sia solubile?

Davvero non so più dove sbattere la testa, spero possiate aiutarmi

[Stickelberger]

La prima domanda e’ un po’ ambigua. Cosa vuol dire “determinare”?
Forse deve essere “Determinare quanti campi intermedi $\ldots$”?

Allora per la teoria di Galois ci sono tanti quanti il numero di $3$-sottogruppi
di Sylow di $S_6$. Il sottogruppo generato dai $3$-cicli $(1\ 2\ 3)$ e $(4\ 5\ 6)$ e’
un $3$-sottogruppi di Sylow. Gli altri sono coniugati. Il numero
di $3$-sottogruppi di Sylow e’ quindi uguale al numero di partizioni
di $\{1,2,3,4,5,6\}$ in due parti di $3$ elementi.
Ce ne sono quindi $\frac{1}{2}((6),(3))=10$.


L'unione dei $3$-sottogruppi di Sylow consiste nei $3$-cicli e l'elemento neutro e genera quindi
il sottogruppo $A_6$. L’intersezione dei campi $F$ e’ quindi un’estensione quadratica di $QQ$