Ideali primi

[Freebulls]

Buonasera,
devo fare questo esercizio ma ho un po di dubbi:

Dire se l'ideale $(x^3 − 18x + 12, 5)$ è primo negli anelli $mathbb(Z)[X]$, $mathbb(Q)[X]$ e $mathbb(Z)_3[X]$

Parto con $mathbb(Z)_3[X]$. Considero l'anello quoziente $mathbb(Z)_3[X]//(x^3 − 18x + 12, 5)$ che penso sia isomorfo a $mathbb(Z)[X]//(x^3, 5,3)$. Ora poiché $3$ e $5$ sono coprimi, essi mi generano tutto $mathbb(Z)$ e quindi in sostanza ho $mathbb(Z)_3[X]//(x^3 − 18x + 12, 5) \cong (0)$. Ma l'ideale zero è un dominio?

Considero l'anello quoziente $mathbb(Z)[X]//(x^3 − 18x + 12, 5) \cong mathbb(Z)_5[X]//(x^3+2x+2)$. Ora poiché $x^3+2x+2$ ha uno zero in $1 mod 5$ ho che $x^3+2x+2$ è riducibile in $mathbb(Z)_5[X]$, che è un PID, e quindi non è primo. Di conseguenza non lo è neanche l'ideale da esso generato

Per quanto riguarda $mathbb(Q)[X]$, non so come procedere.

[spugna]

$mathbb(Z)_3[X]//(x^3 − 18x + 12, 5) \cong (0)$. Ma l'ideale zero è un dominio?

Al di là di quale sia la convenzione, hai dimostrato che l'ideale che definisce il quoziente coincide con $ZZ_3[X]$, ma la definizione di ideale primo si dà solo per gli ideali propri, quindi direi che la risposta è no.

Per quanto riguarda $mathbb(Q)[X]$, non so come procedere.

$5$ è invertibile in $QQ$, quindi si conclude come per $ZZ_3[X]$.

[Freebulls]

Grazie mille, ad essere sincero non stavo facendo caso al fatto che quegli elementi fossero invertibili