Prodotto diretto e semidiretto

[gloriaunimate]

Salve, ho un dubbio sui prodotti. Io ho studiato che se due sottogruppi sono normali e hanno intersezione vuota allora c'è prodotto diretto; se solo uno è normale e l'altro no allora è semidiretto.
In università mi hanno posto l'esempio di un gruppo di ordine 120 che ha prodotto semidiretto A5 * Z/2Z ma che non è diretto. Non ho capito perchè non è diretto. A5 ha indice 2 e dunque è normale. Io credevo che anche Z/2Z fosse normale. QUalcuno mi spiega come funziona?
Grazie in anticipo

[killing_buddha]

Due gruppi non devono essere sottogruppi di uno stesso gruppo affinché sia possibile farne il prodotto semi/diretto.

[gloriaunimate]

Non ho capito. Ti riporto il testo dell'esercizio così magari mi spiego meglio io.
"Dire se esiste un gruppo G di ordine 120 che sia prodotto semidiretto (G isomorfo a H*K prodotto semidiretto) ma non diretto (G non isomorfo a H*K diretto). Analogo per un gruppo di ordine 343.
La soluzione del 120 è che esiste e basta prendere il prodotto semidiretto tra A5 e Z/2Z. Qualcuno mi sa spiegare perchè questo prodotto non potrebbe essere diretto? Cioè, perchè Z/2Z non è normale?
Invece, per un gruppo di ordine 343 non so proprio come fare

[killing_buddha]

Tu sei convinto che un prodotto semidiretto si faccia a partire da due sottogruppi, di cui uno è normale. Questo non ha senso: normale in chi, se i due gruppi non sono sottogruppi di uno stesso gruppo?

Il prodotto semidiretto è invece una costruzione (universale) che produce un gruppo a partire da due gruppi; entrambi saranno sottogruppi del prodotto semidiretto, ma uno saràà normale, l'altro no.

[Martino]

Gloriaunimate, per costruire il prodotto semidiretto tra A e B osserverai che ti serve un omomorfismo strutturale (chiamiamolo f) che va da A al gruppo degli automorfismi di B. Ebbene il prodotto semidiretto è diretto se e solo se f(x)=1 per ogni x in A (prova a dimostrarlo). Quindi per costruire un prodotto semidiretto non diretto basta che questo f non mandi tutto in 1. Nel caso di A5 e Z2 di solito si prende come f (da Z2 al gruppo degli automorfismi di A5) la mappa che associa al generatore di Z2 il coniugio con un 2-ciclo di S5 (per esempio (12)). Se non mi sono spiegato riportami la tua definizione di prodotto semidiretto e ti mostrerò dove sta f.

[gloriaunimate]

Ok, mi è in parte più chiaro.
Però non capisco come fare nel caso di un gruppo di ordine p^n. Cioè, se prendo un gruppo di ordine 343=7^3 (ho un unico 7-sylow che dunque è normale), se ho capito bene, non esistono prodotti semidiretti che non siano diretti. Cioè se #G=343, posso prendere come gruppi su cui fare il prodotto per poi ottenere G solo l'elemento neutro e tutto il gruppo giusto? E questo prodotto sarà semidiretto ma anche diretto.
O sbaglio?

[Martino]

Guarda è molto semplice.

Prendi un gruppo A e un gruppo B tale che B è un sottogruppo di Aut(A). Allora il prodotto semidiretto tra A e B dato dall'omomorfismo di inclusione \( \displaystyle f:B \to Aut(A) \) non è diretto. Sapendo questo riesci a costruire un tale prodotto semidiretto di ordine 343?