Problema esercizio sui gruppi

[lcdatti]

Salve, sto tentando di risolvere questo esercizio e ho abbozzato questa dimostrazione, ma sono poco convinto su un passaggio.

HP:

G gruppo
H sottogruppo normale di G e sottoinsieme del centro.

TH: G/H ciclico => G abeliano

Dim.

G/H è ciclico, dunque \(\ \exists g'H \in G/H \) tale che \(\ <g'H>=G/H \). In particolare sarà vero che \(\ \{(g'H)^i\}=\{gH, \forall g \in G \} \). Inoltre, dalle proprietà della moltiplicazione di elementi di una stessa classe, sarà vero che \(\ (g'H)^i=g'^iH \).

Dunque otteniamo che \(\ \{g'^iH\}=\{gH, \forall g \in G\} \). Ora, da qui si può dedurre che \(\ <g'>=G \) ? Cioè g' generi G, dunque G ciclico e perciò abeliano?

Non mi pare corretto, però attendo vostre delucidazioni. Vi ringrazio per il vostro tempo.

[spugna]

Non è detto che $G$ sia ciclico (da un qualsiasi gruppo abeliano si ottiene un quoziente banale).

Non devi dedurre che $g'$ genera $G$, ma che due elementi generici commutino: da ciò che hai scritto si deduce facilmente che un generico elemento di $G$ si scrive come $g'^i*h$ con $h \in H$, quindi basta dimostrare che $g'^ih_1g'^jh_2=g'^jh_2g'^ih_1$, ma questo segue dal fatto che, essendo $H$ contenuto nel centro, puoi riscrivere entrambi i membri come $g'^(i+j)h_1h_2$.

[lcdatti]

Risolto. Grazie per l'aiuto. Gentilissimo. Buon proseguimento.