Devo determinare $Z(G)$ (centro), $I(G)$ (insieme degli automorfismi interni) e $Aut(G)$ per $G= ZZ_5, ZZ_7, ZZ_8$.
Chiedo conferma della correttezza dei ragionamenti e metto in corsivo i dubbi che ho.
$(ZZ_5, +), (ZZ_7,+), (ZZ_8,+)$ sono tutti e tre ciclici e quindi abeliani. Per questo motivo il centro di tutti e tre i gruppi coincide con il gruppo stesso: $Z(ZZ_5)=ZZ_5, Z(ZZ_7)=ZZ_7, Z(ZZ_8)=ZZ_8$.
Se il gruppo $G$ è abeliano, dato $a \in G$, un automorfismo interno $\varphi_a$ indotto da $a$ coincide con l'applicazione identica $id \in Aut(G)$ in quanto per ogni $x \in G$, $\varphi_a(x)=axa^{-1}=xaa^{-1}=x=id(x)$. Allora in tutti e tre i casi dovrei avere: $I(ZZ_5)={id}, I(ZZ_7)={id}, I(ZZ_8)={id}$.
Ora caso per caso:
i) $ZZ_5={0_5,1_5,2_5,3_5,4_5}$ è generato da $1_5, 2_5, 3_5, 4_5$ tutti di ordine $5$ e l'automorfismo che cerco deve mandare il generatore $1_5$ in un elemento di ordine $5$, cioè in $1_5$, $2_5$, $3_5$ o $4_5$. Quindi ho in tutto $4$ automomorfismi: $f(1_5)=1_5$, $f(1_5)=2_5$, $f(1_5)=3_5$, $f(1_5)=4_5$. (qui non riesco ancora a convincermi del tutto perché non devo considerare $16$ automorfismi. Perché a differenza di generici omomorfirmi essendo gli automorfismi biunivoci se considero tutte le combinazioni ho delle ripetizioni ?)
Con lo stesso ragionamento:
ii) Per $ZZ_7$ ho in tutto $6$ automorfismi.
iii) Per $ZZ_8$ ho in tutto $4$ automorfismi.
Posso in ultimo generalizzare dicendo che nel gruppo $(ZZ_n, +)$ ho in tutto $\phi(n)$ automorfismi ?