Intersezione di due relazioni di equivalenza

[frak27]

"Dimostrare che l'intersezione di due relazioni di equivalenza su uno stesso insieme è ancora una relazione di equivalenza"

Cosa si intende per intersezione di due relazioni di equivalenza?

[Martino]

Per esempio nell'insieme di tutte le persone del mondo l'intersezione delle relazioni "avere la stessa età" e "avere lo stesso nome" è:

"Avere la stessa età e lo stesso nome".

[killing_buddha]

Una relazione tra $X$ e $Y$ è un sottoinsieme di $X\times Y$. Se me ne dai due, diciamo $R,S$, io te le interseco in $R\cap S$.

[frak27]

Quindi avendo due generiche relazioni d'equivalenza $R$ ed $S$ su di uno stesso insieme $N$,
Come si dimostra che anche $R nn S$ è d'equivalenza?

Ho pensato di fare così:
Dato che $AAx inN$, $xRx$ e $xSx$ allora la proprietà riflessiva è valida anche nell'intersezione $RnnS$.

Facendo così anche per la proprietà simmetrica e transitiva si dimostra che $R nn S$ è d'equivalenza.
Ma non mi convince questo metodo.

[frak27]

Up

[killing_buddha]

Quindi avendo due generiche relazioni d'equivalenza $R$ ed $S$ su di uno stesso insieme $N$,
Come si dimostra che anche $R nn S$ è d'equivalenza?

Ho pensato di fare così:
Dato che $AAx inN$, $xRx$ e $xSx$ allora la proprietà riflessiva è valida anche nell'intersezione $RnnS$.

Facendo così anche per la proprietà simmetrica e transitiva si dimostra che $R nn S$ è d'equivalenza.
Ma non mi convince questo metodo.

Una relazione è di equivalenza se contiene la diagonale, se è fissata dall'inversione delle coordinate e se vale la proprietà di transitività; le prime due cose sono chiaramente stabili per intersezione (se $\Delta \subseteq R,S$ allora $\Delta\subseteq R\cap S$), e la terza si fa a mano: supponi che $(x,y),(y,z)\in R\cap S$; allora $(x,z)$ sta in $R$, e anche in $S$).

[frak27]

Grazie @killing_buddha