Innanzitutto, devo mostrare che l'insieme dei numeri della forma \(\displaystyle a+b\sqrt 2 \) con \(\displaystyle a,b\in \mathbb{Q} \) forma un campo.
Il mio tentativo:
i) Scegliendo \(\displaystyle (a,b)=(0,0) \) si ha l'elemento \(\displaystyle 0 \), \(\displaystyle (a,b)=(1,0) \) si ha l'elemento \(\displaystyle 1 \).
ii) E' chiuso per somma e prodotto: \(\displaystyle (a+b\sqrt 2)+(c+d\sqrt 2)=(a+c)+(b+d)\sqrt 2 \) è ancora della forma iniziale, così come \(\displaystyle (a+b\sqrt 2)(c+d\sqrt 2)=ac+ad\sqrt 2+cb\sqrt 2+2bd=(ac+2bd)+(ad+cd)\sqrt 2\).
iii) Se \(\displaystyle (a,b)\ne (0,0) \), allora si ha \(\displaystyle \frac{1}{a+b\sqrt 2}=\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt 2 \).
iv) Infine, \(\displaystyle -a-b\sqrt 2 \) è ancora nella forma iniziale.
Questo dovrebbe mostrare che l'insieme è un campo. E' corretto? Se sì magari posto l'altra, è molto simile comunque! Grazie in anticipo!
