Sia $(R;+,*)$ un anello e $I$ un ideale di $R$. Definiamo,
• $X$ insieme degli ideali di $R$ contenti $I$
• $Y$ insieme degli ideali di $R/I$
L’applicazione $Phi:X->Y$ definita come $Phi(A)=pi(A)$
(Dove $pi:R->R/I$ è la proiezione canonica)
È una corrispondenza biunivoca.
Lemma 1
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$f:R->R’$ omomorfismo di anelli.
Se $B$ è un ideale di $R’$ allora $f^(leftarrow)(B)$ è un ideale di $f^(leftarrow)(R’)=R$ contente il nucleo
Se $B$ è un ideale di $R’$ allora $f^(leftarrow)(B)$ è un ideale di $f^(leftarrow)(R’)=R$ contente il nucleo
Lemma 2
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sia $R$ un anello e $I$ un ideale. Considerata $pi:R->R/I$ la proiezione canonica allora $Ker(pi)=I$
Lemma 3
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sia $R$ un anello e $I$ un ideale, considerata $pi:R->R/I$ la proiezione
Di questo metto anche la dimostrazione che ho dimostrato così
$pi(A)={yinR/I|existsx inR,pi(x)=y}={[x]inR/I|x inA}$
Essendo $A/I={[x]: x inA}$ si ha la tesi, poiché
$[x]inpi(A)<=>x inA<=>[x]inA/I$
per ogni ideale $A$ di $R$ contenente $I$ si ha $pi(A)=A/I$
Di questo metto anche la dimostrazione che ho dimostrato così
$pi(A)={yinR/I|existsx inR,pi(x)=y}={[x]inR/I|x inA}$
Essendo $A/I={[x]: x inA}$ si ha la tesi, poiché
$[x]inpi(A)<=>x inA<=>[x]inA/I$
Intanto è suriettiva poiché se $B inY$ allora $pi^(leftarrow)(B)$ è un ideale di $R$ contente $I$ pertanto essendo $pi(pi^(leftarrow)(B))=B$ si ha la suriettivitá
Se $A,B$ sono ideali di $R$ contenenti $I$ allora $pi(A)=pi(B) => A/I=B/I$ quindi
$x inA<=>[x]inA/I=B/I<=>x inB => A=B$
Corretto?
